Номер 632, страница 193 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 6. Тригонометрические уравнения. Параграф 36. Решение тригонометрических уравнений - номер 632, страница 193.

Условие.

632 1) $1 - \cos(\pi - x) + \sin\left(\frac{\pi}{2} + \frac{x}{2}\right) = 0;$

2) $\sqrt{2} \cos\left(x - \frac{\pi}{4}\right) = (\sin x + \cos x)^2.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

1) $1 - \cos(\pi - x) + \sin(\frac{\pi}{2} + \frac{x}{2}) = 0$

Для решения этого уравнения воспользуемся формулами приведения:

$\cos(\pi - x) = -\cos x$

$\sin(\frac{\pi}{2} + \frac{x}{2}) = \cos(\frac{x}{2})$

Подставим эти выражения в исходное уравнение:

$1 - (-\cos x) + \cos(\frac{x}{2}) = 0$

$1 + \cos x + \cos(\frac{x}{2}) = 0$

Теперь используем формулу косинуса двойного угла $\cos x = 2\cos^2(\frac{x}{2}) - 1$.

Подставим это в уравнение:

$1 + (2\cos^2(\frac{x}{2}) - 1) + \cos(\frac{x}{2}) = 0$

$2\cos^2(\frac{x}{2}) + \cos(\frac{x}{2}) = 0$

Вынесем общий множитель $\cos(\frac{x}{2})$ за скобки:

$\cos(\frac{x}{2})(2\cos(\frac{x}{2}) + 1) = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Рассмотрим два случая:

а) $\cos(\frac{x}{2}) = 0$

$\frac{x}{2} = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$

$x = \pi + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$

б) $2\cos(\frac{x}{2}) + 1 = 0$

$\cos(\frac{x}{2}) = -\frac{1}{2}$

$\frac{x}{2} = \pm \arccos(-\frac{1}{2}) + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$

$\frac{x}{2} = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$

$x = \pm \frac{4\pi}{3} + 4\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = \pi + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}; \quad x = \pm \frac{4\pi}{3} + 4\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

2) $\sqrt{2} \cos(x - \frac{\pi}{4}) = (\sin x + \cos x)^2$

Упростим левую часть уравнения, используя формулу косинуса разности $\cos(\alpha - \beta) = \cos\alpha \cos\beta + \sin\alpha \sin\beta$:

$\sqrt{2} \cos(x - \frac{\pi}{4}) = \sqrt{2}(\cos x \cos\frac{\pi}{4} + \sin x \sin\frac{\pi}{4})$

Так как $\cos\frac{\pi}{4} = \sin\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$, получаем:

$\sqrt{2}(\cos x \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \sin x \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{2}{2}(\cos x + \sin x) = \sin x + \cos x$

Теперь исходное уравнение принимает вид:

$\sin x + \cos x = (\sin x + \cos x)^2$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = \sin x + \cos x$. Тогда уравнение станет:

$t = t^2$

$t^2 - t = 0$

$t(t - 1) = 0$

Отсюда получаем два возможных значения для $t$: $t = 0$ или $t = 1$. Вернемся к исходной переменной $x$ и рассмотрим оба случая:

а) $\sin x + \cos x = 0$

Разделим обе части на $\cos x$ (при условии, что $\cos x \neq 0$; если $\cos x = 0$, то $\sin x = \pm 1$, и сумма не равна нулю, так что деление корректно):

$\tan x + 1 = 0 \implies \tan x = -1$

$x = -\frac{\pi}{4} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$

б) $\sin x + \cos x = 1$

Для решения воспользуемся методом введения вспомогательного угла. Умножим и разделим левую часть на $\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$:

$\sqrt{2}(\frac{1}{\sqrt{2}}\sin x + \frac{1}{\sqrt{2}}\cos x) = 1$

$\sqrt{2}(\cos\frac{\pi}{4}\sin x + \sin\frac{\pi}{4}\cos x) = 1$

$\sqrt{2}\sin(x + \frac{\pi}{4}) = 1 \implies \sin(x + \frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Это уравнение распадается на две серии решений:

1. $x + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4} + 2\pi n \implies x = 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$

2. $x + \frac{\pi}{4} = \pi - \frac{\pi}{4} + 2\pi n \implies x + \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4} + 2\pi n \implies x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$

Объединяем все найденные решения.

Ответ: $x = -\frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z}; \quad x = 2\pi n, n \in \mathbb{Z}; \quad x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.