Номер 636, страница 193 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 6. Тригонометрические уравнения. Параграф 36. Решение тригонометрических уравнений - номер 636, страница 193.

Условие.

636 1) $4 \sin^2 x - 5 \sin x \cos x - 6 \cos^2 x = 0;$

2) $3 \sin^2 x - 7 \sin x \cos x + 2 \cos^2 x = 0;$

3) $1 - 4 \sin x \cos x + 4 \cos^2 x = 0;$

4) $1 + \sin^2 x = 2 \sin x \cos x.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

1)

Данное уравнение $4 \sin^2 x - 5 \sin x \cos x - 6 \cos^2 x = 0$ является однородным тригонометрическим уравнением второго порядка.

Сначала проверим, является ли $ \cos x = 0 $ решением. Если $ \cos x = 0 $, то $ \sin x = \pm 1 $, и, следовательно, $ \sin^2 x = 1 $. Подставив эти значения в уравнение, получим $4 \cdot 1 - 5 \cdot (\pm 1) \cdot 0 - 6 \cdot 0^2 = 0$, что упрощается до $4 = 0$. Это неверное равенство, значит $ \cos x \ne 0 $.

Поскольку $ \cos x \ne 0 $, мы можем разделить обе части уравнения на $ \cos^2 x $:

$ \frac{4 \sin^2 x}{\cos^2 x} - \frac{5 \sin x \cos x}{\cos^2 x} - \frac{6 \cos^2 x}{\cos^2 x} = 0 $

Используя определение тангенса $ \tan x = \frac{\sin x}{\cos x} $, получаем квадратное уравнение относительно $ \tan x $:

$ 4 \tan^2 x - 5 \tan x - 6 = 0 $

Введем замену $ t = \tan x $:

$ 4t^2 - 5t - 6 = 0 $

Решим это квадратное уравнение. Найдем дискриминант:

$ D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-6) = 25 + 96 = 121 = 11^2 $

Корни уравнения для $ t $:

$ t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 + 11}{2 \cdot 4} = \frac{16}{8} = 2 $

$ t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 - 11}{2 \cdot 4} = \frac{-6}{8} = -\frac{3}{4} $

Теперь выполним обратную замену:

1. $ \tan x = 2 \implies x = \arctan(2) + \pi n, \text{ где } n \in \mathbb{Z} $.

2. $ \tan x = -\frac{3}{4} \implies x = \arctan\left(-\frac{3}{4}\right) + \pi k, \text{ где } k \in \mathbb{Z} $. Это также можно записать как $ x = -\arctan\left(\frac{3}{4}\right) + \pi k, \text{ где } k \in \mathbb{Z} $.

Ответ: $x = \arctan(2) + \pi n, n \in \mathbb{Z}; \quad x = -\arctan\left(\frac{3}{4}\right) + \pi k, k \in \mathbb{Z}.$

---

2)

Уравнение $3 \sin^2 x - 7 \sin x \cos x + 2 \cos^2 x = 0$ также является однородным тригонометрическим уравнением второго порядка.

Проверим случай $ \cos x = 0 $. Если $ \cos x = 0 $, то $ \sin^2 x = 1 $. Уравнение принимает вид $3 \cdot 1 - 0 + 0 = 0$, или $3=0$, что неверно. Следовательно, $ \cos x \ne 0 $.

Разделим обе части уравнения на $ \cos^2 x $:

$ \frac{3 \sin^2 x}{\cos^2 x} - \frac{7 \sin x \cos x}{\cos^2 x} + \frac{2 \cos^2 x}{\cos^2 x} = 0 $

Это приводит к квадратному уравнению относительно $ \tan x $:

$ 3 \tan^2 x - 7 \tan x + 2 = 0 $

Сделаем замену $ t = \tan x $:

$ 3t^2 - 7t + 2 = 0 $

Найдем дискриминант:

$ D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 2 = 49 - 24 = 25 = 5^2 $

Корни уравнения для $ t $:

$ t_1 = \frac{7 + 5}{2 \cdot 3} = \frac{12}{6} = 2 $

$ t_2 = \frac{7 - 5}{2 \cdot 3} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} $

Выполним обратную замену:

1. $ \tan x = 2 \implies x = \arctan(2) + \pi n, \text{ где } n \in \mathbb{Z} $.

2. $ \tan x = \frac{1}{3} \implies x = \arctan\left(\frac{1}{3}\right) + \pi k, \text{ где } k \in \mathbb{Z} $.

Ответ: $x = \arctan(2) + \pi n, n \in \mathbb{Z}; \quad x = \arctan\left(\frac{1}{3}\right) + \pi k, k \in \mathbb{Z}.$

---

3)

Уравнение $1 - 4 \sin x \cos x + 4 \cos^2 x = 0$ не является однородным. Чтобы привести его к однородному виду, используем основное тригонометрическое тождество $1 = \sin^2 x + \cos^2 x$:

$(\sin^2 x + \cos^2 x) - 4 \sin x \cos x + 4 \cos^2 x = 0$

Приведем подобные слагаемые:

$\sin^2 x - 4 \sin x \cos x + 5 \cos^2 x = 0$

Теперь это однородное уравнение. Проверка показывает, что $ \cos x \ne 0 $ (иначе $ \sin^2 x = 1 $ и уравнение дает $1=0$). Разделим обе части на $ \cos^2 x $:

$\tan^2 x - 4 \tan x + 5 = 0$

Сделаем замену $ t = \tan x $:

$ t^2 - 4t + 5 = 0 $

Вычислим дискриминант этого квадратного уравнения:

$ D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 16 - 20 = -4 $

Так как дискриминант $ D < 0 $, квадратное уравнение не имеет действительных корней. Следовательно, исходное тригонометрическое уравнение также не имеет решений.

Ответ: решений нет.

---

4)

Перенесем все члены уравнения $1 + \sin^2 x = 2 \sin x \cos x$ в одну сторону:

$1 + \sin^2 x - 2 \sin x \cos x = 0$

Чтобы сделать уравнение однородным, заменим $1$ на $ \sin^2 x + \cos^2 x$:

$(\sin^2 x + \cos^2 x) + \sin^2 x - 2 \sin x \cos x = 0$

Сгруппируем члены:

$2 \sin^2 x - 2 \sin x \cos x + \cos^2 x = 0$

Получили однородное уравнение второго порядка. Проверка показывает, что $ \cos x \ne 0 $ (иначе $ \sin^2 x = 1 $ и уравнение дает $2=0$). Разделим уравнение на $ \cos^2 x $:

$2 \tan^2 x - 2 \tan x + 1 = 0$

Пусть $ t = \tan x $:

$ 2t^2 - 2t + 1 = 0 $

Вычислим дискриминант:

$ D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 4 - 8 = -4 $

Поскольку $ D < 0 $, действительных корней для $t$ нет. Это означает, что у исходного уравнения нет решений.

Ответ: решений нет.