Номер 642, страница 193 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 6. Тригонометрические уравнения. Параграф 36. Решение тригонометрических уравнений - номер 642, страница 193.

Условие.

642 1) $sin x sin 5x = 1$;

2) $sin x cos 4x = -1$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

1) Решим уравнение $\sin x \sin 5x = 1$.
Поскольку значения функции синуса находятся в промежутке $[-1, 1]$, произведение двух синусов может равняться 1 только в двух случаях: оба сомножителя равны 1 или оба равны -1.
Рассмотрим оба случая:
Случай A: $\sin x = 1$ и $\sin 5x = 1$.
Из первого уравнения $\sin x = 1$ находим общее решение: $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Подставим это значение $x$ во второе уравнение, чтобы проверить, выполняется ли оно:
$\sin(5x) = \sin(5(\frac{\pi}{2} + 2\pi n)) = \sin(\frac{5\pi}{2} + 10\pi n)$.
Поскольку период синуса равен $2\pi$, слагаемое $10\pi n$ можно отбросить: $\sin(\frac{5\pi}{2}) = \sin(2\pi + \frac{\pi}{2}) = \sin(\frac{\pi}{2}) = 1$.
Условие $\sin 5x = 1$ выполняется. Следовательно, $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$ является серией решений.
Случай B: $\sin x = -1$ и $\sin 5x = -1$.
Из первого уравнения $\sin x = -1$ находим общее решение: $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Подставим это значение $x$ во второе уравнение:
$\sin(5x) = \sin(5(-\frac{\pi}{2} + 2\pi k)) = \sin(-\frac{5\pi}{2} + 10\pi k)$.
Отбрасывая период, получаем: $\sin(-\frac{5\pi}{2}) = \sin(-2\pi - \frac{\pi}{2}) = \sin(-\frac{\pi}{2}) = -1$.
Условие $\sin 5x = -1$ также выполняется. Следовательно, $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$ является еще одной серией решений.
Объединим обе серии решений: $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$ и $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k$. Эти точки на единичной окружности можно описать одной формулой: $x = \frac{\pi}{2} + \pi m$, где $m \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

2) Решим уравнение $\sin x \cos 4x = -1$.
Поскольку значения функций синуса и косинуса находятся в промежутке $[-1, 1]$, их произведение может равняться -1 только в двух случаях.
Рассмотрим оба случая:
Случай A: $\sin x = 1$ и $\cos 4x = -1$.
Из $\sin x = 1$ следует, что $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Подставим это значение $x$ во второе уравнение:
$\cos(4x) = \cos(4(\frac{\pi}{2} + 2\pi n)) = \cos(2\pi + 8\pi n) = \cos(2\pi) = 1$.
Мы получили $\cos 4x = 1$, что противоречит условию $\cos 4x = -1$. Следовательно, в этом случае решений нет.
Случай B: $\sin x = -1$ и $\cos 4x = 1$.
Из $\sin x = -1$ следует, что $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Подставим это значение $x$ во второе уравнение:
$\cos(4x) = \cos(4(-\frac{\pi}{2} + 2\pi k)) = \cos(-2\pi + 8\pi k) = \cos(-2\pi) = 1$.
Условие $\cos 4x = 1$ выполняется. Следовательно, решения этого случая являются решениями исходного уравнения.
Таким образом, единственная серия решений — это $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.