Номер 647, страница 193 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 6. Тригонометрические уравнения. Параграф 36. Решение тригонометрических уравнений - номер 647, страница 193.

Условие.

647 Найти все значения $a$, при которых уравнение

$\sin^2 x - \sin x \cos x - 2 \cos^2 x = a$

не имеет корней.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

Задача состоит в том, чтобы найти все значения параметра $a$, при которых данное уравнение не имеет решений. Это эквивалентно нахождению всех значений $a$, которые не принадлежат области значений функции $f(x) = \sin^2 x - \sin x \cos x - 2 \cos^2 x$.

Найдем область значений функции $f(x)$. Для этого преобразуем ее, используя формулы понижения степени и синуса двойного угла:

$\sin^2 x = \frac{1 - \cos(2x)}{2}$

$\cos^2 x = \frac{1 + \cos(2x)}{2}$

$\sin x \cos x = \frac{\sin(2x)}{2}$

Подставляя эти формулы в выражение для $f(x)$, получаем:

$f(x) = \frac{1 - \cos(2x)}{2} - \frac{\sin(2x)}{2} - 2 \left( \frac{1 + \cos(2x)}{2} \right)$

Упростим полученное выражение:

$f(x) = \frac{1}{2} - \frac{1}{2}\cos(2x) - \frac{1}{2}\sin(2x) - 1 - \cos(2x)$

$f(x) = -\frac{1}{2} - \frac{3}{2}\cos(2x) - \frac{1}{2}\sin(2x)$

Вынесем общий множитель:

$f(x) = -\frac{1}{2} - \frac{1}{2} (3\cos(2x) + \sin(2x))$

Теперь необходимо найти область значений выражения $3\cos(2x) + \sin(2x)$. Для выражения вида $A\sin\alpha + B\cos\alpha$ область значений представляет собой отрезок $[-\sqrt{A^2+B^2}, \sqrt{A^2+B^2}]$. В нашем случае $A=1$ и $B=3$, поэтому $\sqrt{A^2+B^2} = \sqrt{1^2+3^2} = \sqrt{10}$.

Таким образом, область значений выражения $3\cos(2x) + \sin(2x)$ — это отрезок $[-\sqrt{10}, \sqrt{10}]$, то есть:

$-\sqrt{10} \le 3\cos(2x) + \sin(2x) \le \sqrt{10}$

Теперь мы можем найти минимальное и максимальное значения функции $f(x)$.

Минимальное значение $f_{\min}$ достигается, когда выражение $3\cos(2x) + \sin(2x)$ максимально, то есть равно $\sqrt{10}$:

$f_{\min} = -\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \sqrt{10} = \frac{-1 - \sqrt{10}}{2}$

Максимальное значение $f_{\max}$ достигается, когда выражение $3\cos(2x) + \sin(2x)$ минимально, то есть равно $-\sqrt{10}$:

$f_{\max} = -\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot (-\sqrt{10}) = \frac{-1 + \sqrt{10}}{2}$

Следовательно, область значений функции $f(x)$ — это отрезок $E(f) = \left[ \frac{-1 - \sqrt{10}}{2}; \frac{-1 + \sqrt{10}}{2} \right]$.

Уравнение не имеет корней, если значение $a$ лежит вне этой области. То есть, $a < \frac{-1 - \sqrt{10}}{2}$ или $a > \frac{-1 + \sqrt{10}}{2}$.

Ответ: $a \in \left(-\infty; \frac{-1 - \sqrt{10}}{2}\right) \cup \left(\frac{-1 + \sqrt{10}}{2}; +\infty\right)$