Номер 651, страница 196 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 6. Тригонометрические уравнения. Параграф 37. Примеры решения простейших тригонометрических неравенств - номер 651, страница 196.

Условие.

651 1) $\sin x \ge -\sqrt{2}$;

2) $\sin x > 1$;

3) $\sin x \le -1$;

4) $\sin x \ge 1$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

1) $\sin x \ge -\sqrt{2}$

Область значений функции синус $y=\sin x$ — это отрезок $[-1, 1]$. Это означает, что для любого действительного числа $x$ выполняется двойное неравенство $-1 \le \sin x \le 1$.

Рассмотрим заданное неравенство $\sin x \ge -\sqrt{2}$.

Приблизительное значение $\sqrt{2} \approx 1.414$, следовательно, $-\sqrt{2} \approx -1.414$.

Так как наименьшее значение функции $\sin x$ равно $-1$, а $-1 > -1.414$, то неравенство $\sin x \ge -1.414$ справедливо для любого значения $x$, поскольку $\sin x$ всегда будет больше, чем $-\sqrt{2}$.

Ответ: $x \in \mathbb{R}$ (любое действительное число).

2) $\sin x > 1$

Область значений функции синус $y=\sin x$ — это отрезок $[-1, 1]$. Максимальное значение, которое может принимать $\sin x$, равно 1.

Неравенство $\sin x > 1$ требует, чтобы значение синуса было строго больше 1, что невозможно ни при каком значении $x$.

Следовательно, данное неравенство не имеет решений.

Ответ: решений нет ($x \in \emptyset$).

3) $\sin x \le -1$

Область значений функции синус $y=\sin x$ — это отрезок $[-1, 1]$. Это означает, что для любого $x$ выполняется $\sin x \ge -1$.

Таким образом, исходное неравенство $\sin x \le -1$ может выполняться только в одном случае: когда $\sin x$ одновременно и меньше или равно $-1$, и больше или равно $-1$. Это возможно только при равенстве.

Следовательно, неравенство равносильно уравнению $\sin x = -1$.

Решением этого тригонометрического уравнения является серия точек:

$x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$ (k — любое целое число).

Ответ: $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

4) $\sin x \ge 1$

Область значений функции синус $y=\sin x$ — это отрезок $[-1, 1]$. Это означает, что для любого $x$ выполняется $\sin x \le 1$.

Таким образом, исходное неравенство $\sin x \ge 1$ может выполняться только в одном случае: когда $\sin x$ одновременно и больше или равно 1, и меньше или равно 1. Это возможно только при равенстве.

Следовательно, неравенство равносильно уравнению $\sin x = 1$.

Решением этого тригонометрического уравнения является серия точек:

$x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$ (k — любое целое число).

Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.