Номер 652, страница 196 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 6. Тригонометрические уравнения. Параграф 37. Примеры решения простейших тригонометрических неравенств - номер 652, страница 196.

Условие.

652 1) $\sqrt{2} \cos 2x \le 1;$

2) $2 \sin 3x > -1;$

3) $\sin \left(x+\frac{\pi}{4}\right) \le \frac{\sqrt{2}}{2};$

4) $\cos \left(x-\frac{\pi}{6}\right) \ge \frac{\sqrt{3}}{2}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

1)

Дано неравенство $\sqrt{2} \cos 2x \le 1$.

Разделим обе части неравенства на $\sqrt{2}$:

$\cos 2x \le \frac{1}{\sqrt{2}}$

Приведем правую часть к стандартному виду:

$\cos 2x \le \frac{\sqrt{2}}{2}$

Сделаем замену переменной $t = 2x$. Неравенство примет вид $\cos t \le \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Решением этого простейшего тригонометрического неравенства является промежуток, который на единичной окружности соответствует дуге, где абсцисса (косинус) меньше или равна $\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Это соответствует углам $t$ в диапазоне:

$\arccos\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) + 2\pi k \le t \le 2\pi - \arccos\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

$\frac{\pi}{4} + 2\pi k \le t \le 2\pi - \frac{\pi}{4} + 2\pi k$

$\frac{\pi}{4} + 2\pi k \le t \le \frac{7\pi}{4} + 2\pi k$

Теперь выполним обратную замену $t = 2x$:

$\frac{\pi}{4} + 2\pi k \le 2x \le \frac{7\pi}{4} + 2\pi k$

Чтобы найти $x$, разделим все части двойного неравенства на 2:

$\frac{\pi}{8} + \pi k \le x \le \frac{7\pi}{8} + \pi k$

Ответ: $x \in \left[\frac{\pi}{8} + \pi k; \frac{7\pi}{8} + \pi k\right], k \in \mathbb{Z}$.

2)

Дано неравенство $2 \sin 3x > -1$.

Разделим обе части неравенства на 2:

$\sin 3x > -\frac{1}{2}$

Сделаем замену переменной $t = 3x$. Неравенство примет вид $\sin t > -\frac{1}{2}$.

Решением этого неравенства является промежуток, который на единичной окружности соответствует дуге, где ордината (синус) больше $-\frac{1}{2}$.

Это соответствует углам $t$ в диапазоне:

$\arcsin\left(-\frac{1}{2}\right) + 2\pi k < t < \pi - \arcsin\left(-\frac{1}{2}\right) + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

$-\frac{\pi}{6} + 2\pi k < t < \pi - \left(-\frac{\pi}{6}\right) + 2\pi k$

$-\frac{\pi}{6} + 2\pi k < t < \frac{7\pi}{6} + 2\pi k$

Выполним обратную замену $t = 3x$:

$-\frac{\pi}{6} + 2\pi k < 3x < \frac{7\pi}{6} + 2\pi k$

Разделим все части неравенства на 3:

$-\frac{\pi}{18} + \frac{2\pi k}{3} < x < \frac{7\pi}{18} + \frac{2\pi k}{3}$

Ответ: $x \in \left(-\frac{\pi}{18} + \frac{2\pi k}{3}; \frac{7\pi}{18} + \frac{2\pi k}{3}\right), k \in \mathbb{Z}$.

3)

Дано неравенство $\sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right) \le \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Сделаем замену переменной $t = x + \frac{\pi}{4}$. Неравенство примет вид $\sin t \le \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Решением этого неравенства является промежуток, который на единичной окружности соответствует дуге, где ордината (синус) меньше или равна $\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Это соответствует углам $t$ в диапазоне:

$\pi - \arcsin\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) + 2\pi k \le t \le 2\pi + \arcsin\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

$\pi - \frac{\pi}{4} + 2\pi k \le t \le 2\pi + \frac{\pi}{4} + 2\pi k$

$\frac{3\pi}{4} + 2\pi k \le t \le \frac{9\pi}{4} + 2\pi k$

Выполним обратную замену $t = x + \frac{\pi}{4}$:

$\frac{3\pi}{4} + 2\pi k \le x + \frac{\pi}{4} \le \frac{9\pi}{4} + 2\pi k$

Вычтем $\frac{\pi}{4}$ из всех частей неравенства:

$\frac{3\pi}{4} - \frac{\pi}{4} + 2\pi k \le x \le \frac{9\pi}{4} - \frac{\pi}{4} + 2\pi k$

$\frac{2\pi}{4} + 2\pi k \le x \le \frac{8\pi}{4} + 2\pi k$

$\frac{\pi}{2} + 2\pi k \le x \le 2\pi + 2\pi k$

Ответ: $x \in \left[\frac{\pi}{2} + 2\pi k; 2\pi + 2\pi k\right], k \in \mathbb{Z}$.

4)

Дано неравенство $\cos\left(x - \frac{\pi}{6}\right) \ge \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Сделаем замену переменной $t = x - \frac{\pi}{6}$. Неравенство примет вид $\cos t \ge \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Решением этого неравенства является промежуток, который на единичной окружности соответствует дуге, где абсцисса (косинус) больше или равна $\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Это соответствует углам $t$ в диапазоне:

$-\arccos\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) + 2\pi k \le t \le \arccos\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

$-\frac{\pi}{6} + 2\pi k \le t \le \frac{\pi}{6} + 2\pi k$

Выполним обратную замену $t = x - \frac{\pi}{6}$:

$-\frac{\pi}{6} + 2\pi k \le x - \frac{\pi}{6} \le \frac{\pi}{6} + 2\pi k$

Прибавим $\frac{\pi}{6}$ ко всем частям неравенства:

$-\frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{6} + 2\pi k \le x \le \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{6} + 2\pi k$

$2\pi k \le x \le \frac{2\pi}{6} + 2\pi k$

$2\pi k \le x \le \frac{\pi}{3} + 2\pi k$

Ответ: $x \in \left[2\pi k; \frac{\pi}{3} + 2\pi k\right], k \in \mathbb{Z}$.