Номер 653, страница 196 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 6. Тригонометрические уравнения. Параграф 37. Примеры решения простейших тригонометрических неравенств - номер 653, страница 196.

Условие.

653 1) $\cos \left(\frac{x}{3}+2\right) \geq \frac{1}{2}$;

2) $\sin \left(\frac{x}{4}-3\right) < -\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

1)

Решим неравенство $\cos\left(\frac{x}{3} + 2\right) \ge \frac{1}{2}$.

Введем новую переменную. Пусть $t = \frac{x}{3} + 2$. Тогда исходное неравенство примет вид:

$\cos(t) \ge \frac{1}{2}$.

Это простейшее тригонометрическое неравенство. Решим его с помощью единичной окружности. Косинус угла $t$ соответствует абсциссе (координате $x$) точки на окружности. Нам необходимо найти все углы $t$, для которых абсцисса точки на окружности больше или равна $\frac{1}{2}$.

Граничные точки, где $\cos(t) = \frac{1}{2}$, соответствуют углам $t = -\frac{\pi}{3}$ и $t = \frac{\pi}{3}$. Неравенство выполняется для всех углов, заключенных в этом промежутке.

Учитывая периодичность функции косинуса (период $2\pi$), общее решение для переменной $t$ записывается в виде двойного неравенства:

$-\frac{\pi}{3} + 2\pi k \le t \le \frac{\pi}{3} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Теперь вернемся к исходной переменной $x$, выполнив обратную замену $t = \frac{x}{3} + 2$:

$-\frac{\pi}{3} + 2\pi k \le \frac{x}{3} + 2 \le \frac{\pi}{3} + 2\pi k$.

Чтобы найти $x$, сначала вычтем 2 из всех частей неравенства:

$-\frac{\pi}{3} - 2 + 2\pi k \le \frac{x}{3} \le \frac{\pi}{3} - 2 + 2\pi k$.

Затем умножим все части неравенства на 3:

$3\left(-\frac{\pi}{3} - 2 + 2\pi k\right) \le x \le 3\left(\frac{\pi}{3} - 2 + 2\pi k\right)$.

После упрощения получаем окончательное решение:

$-\pi - 6 + 6\pi k \le x \le \pi - 6 + 6\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x \in [-\pi - 6 + 6\pi k; \pi - 6 + 6\pi k]$, где $k \in \mathbb{Z}$.

2)

Решим неравенство $\sin\left(\frac{x}{4} - 3\right) < -\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Введем новую переменную. Пусть $t = \frac{x}{4} - 3$. Тогда неравенство преобразуется к виду:

$\sin(t) < -\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Решим это неравенство с помощью единичной окружности. Синус угла $t$ соответствует ординате (координате $y$) точки на окружности. Нам нужно найти все углы $t$, для которых ордината точки на окружности строго меньше $-\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Найдем граничные точки, решив уравнение $\sin(t) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$. Корнями на одном обороте являются $t = \frac{5\pi}{4}$ и $t = \frac{7\pi}{4}$, или, в другом представлении, $t = -\frac{3\pi}{4}$ и $t = -\frac{\pi}{4}$. Неравенство $\sin(t) < -\frac{\sqrt{2}}{2}$ выполняется для углов, лежащих на дуге между этими значениями.

Учитывая периодичность функции синуса (период $2\pi$), общее решение для $t$ можно записать в виде:

$-\frac{3\pi}{4} + 2\pi k < t < -\frac{\pi}{4} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Теперь выполним обратную замену $t = \frac{x}{4} - 3$:

$-\frac{3\pi}{4} + 2\pi k < \frac{x}{4} - 3 < -\frac{\pi}{4} + 2\pi k$.

Чтобы найти $x$, сначала прибавим 3 ко всем частям неравенства:

$-\frac{3\pi}{4} + 3 + 2\pi k < \frac{x}{4} < -\frac{\pi}{4} + 3 + 2\pi k$.

Затем умножим все части неравенства на 4:

$4\left(-\frac{3\pi}{4} + 3 + 2\pi k\right) < x < 4\left(-\frac{\pi}{4} + 3 + 2\pi k\right)$.

После упрощения получаем окончательное решение:

$-3\pi + 12 + 8\pi k < x < -\pi + 12 + 8\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x \in (-3\pi + 12 + 8\pi k; -\pi + 12 + 8\pi k)$, где $k \in \mathbb{Z}$.