Номер 660, страница 197 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 6. Тригонометрические уравнения. Упражнения к главе 6 - номер 660, страница 197.

Условие.

660 1) $2 \sin^2 x + \sin x = 0;$

2) $3 \sin^2 x - 5 \sin x - 2 = 0;$

3) $\cos^2 x - 2 \cos x = 0;$

4) $6 \cos^2 x + 7 \cos x - 3 = 0.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

1) Решим уравнение $2 \sin^2 x + \sin x = 0$.

Это неполное квадратное уравнение относительно $\sin x$. Вынесем $\sin x$ за скобки:

$\sin x (2 \sin x + 1) = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Получаем два случая:

а) $\sin x = 0$

Это частный случай, решения которого: $x = \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

б) $2 \sin x + 1 = 0$

$2 \sin x = -1$

$\sin x = -\frac{1}{2}$

Решения этого уравнения: $x = (-1)^{k} \arcsin(-\frac{1}{2}) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Так как $\arcsin(-\frac{1}{2}) = -\frac{\pi}{6}$, то $x = (-1)^{k} (-\frac{\pi}{6}) + \pi k = (-1)^{k+1} \frac{\pi}{6} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Объединяем решения из обоих случаев.

Ответ: $x = \pi n, n \in \mathbb{Z}$; $x = (-1)^{k+1} \frac{\pi}{6} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

2) Решим уравнение $3 \sin^2 x - 5 \sin x - 2 = 0$.

Это квадратное уравнение относительно $\sin x$. Сделаем замену переменной: пусть $t = \sin x$. Так как область значений синуса $[-1; 1]$, то $|t| \le 1$.

Получаем квадратное уравнение: $3t^2 - 5t - 2 = 0$.

Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-2) = 25 + 24 = 49 = 7^2$.

Найдем корни уравнения для $t$:

$t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 + 7}{2 \cdot 3} = \frac{12}{6} = 2$.

$t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 - 7}{2 \cdot 3} = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3}$.

Вернемся к исходной переменной $x$.

а) $\sin x = t_1 \Rightarrow \sin x = 2$. Это уравнение не имеет решений, так как $2 > 1$, а $|\sin x| \le 1$.

б) $\sin x = t_2 \Rightarrow \sin x = -\frac{1}{3}$.

Решения этого уравнения: $x = (-1)^k \arcsin(-\frac{1}{3}) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Используя нечетность арксинуса ($\arcsin(-a) = -\arcsin(a)$), можем записать ответ в виде: $x = (-1)^{k+1} \arcsin(\frac{1}{3}) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = (-1)^{k+1} \arcsin(\frac{1}{3}) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

3) Решим уравнение $\cos^2 x - 2 \cos x = 0$.

Это неполное квадратное уравнение относительно $\cos x$. Вынесем $\cos x$ за скобки:

$\cos x (\cos x - 2) = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Получаем два случая:

а) $\cos x = 0$

Это частный случай, решения которого: $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

б) $\cos x - 2 = 0 \Rightarrow \cos x = 2$.

Это уравнение не имеет решений, так как $2 > 1$, а $|\cos x| \le 1$.

Следовательно, единственная серия решений - из первого случая.

Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

4) Решим уравнение $6 \cos^2 x + 7 \cos x - 3 = 0$.

Это квадратное уравнение относительно $\cos x$. Сделаем замену переменной: пусть $t = \cos x$. Так как область значений косинуса $[-1; 1]$, то $|t| \le 1$.

Получаем квадратное уравнение: $6t^2 + 7t - 3 = 0$.

Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 7^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-3) = 49 + 72 = 121 = 11^2$.

Найдем корни уравнения для $t$:

$t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-7 + 11}{2 \cdot 6} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}$.

$t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-7 - 11}{2 \cdot 6} = \frac{-18}{12} = -\frac{3}{2} = -1.5$.

Вернемся к исходной переменной $x$.

а) $\cos x = t_1 \Rightarrow \cos x = \frac{1}{3}$.

Решения этого уравнения: $x = \pm \arccos(\frac{1}{3}) + 2 \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

б) $\cos x = t_2 \Rightarrow \cos x = -1.5$. Это уравнение не имеет решений, так как $-1.5 < -1$, а $|\cos x| \le 1$.

Следовательно, единственная серия решений - из первого случая.

Ответ: $x = \pm \arccos(\frac{1}{3}) + 2 \pi n, n \in \mathbb{Z}$.