Номер 1, страница 198 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 6. Тригонометрические уравнения. Проверь себя к главе 6 - номер 1, страница 198.

Условие.

1 Найти значение выражения:

1) $ \arccos 1 + \arcsin 0 $;

2) $ \arccos \left( -\frac{1}{2} \right) - \arcsin \frac{\sqrt{3}}{2} $.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 5.

Решение 8.

1) Для нахождения значения выражения $ \arccos 1 + \arcsin 0 $ вычислим каждое слагаемое отдельно.
По определению, арккосинус числа $a$ — это угол $ \alpha $ из промежутка $ [0; \pi] $, для которого $ \cos \alpha = a $. Для $ a = 1 $ таким углом является $ 0 $, так как $ \cos 0 = 1 $. Следовательно, $ \arccos 1 = 0 $.
По определению, арксинус числа $a$ — это угол $ \beta $ из промежутка $ [-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}] $, для которого $ \sin \beta = a $. Для $ a = 0 $ таким углом является $ 0 $, так как $ \sin 0 = 0 $. Следовательно, $ \arcsin 0 = 0 $.
Теперь сложим полученные значения: $ \arccos 1 + \arcsin 0 = 0 + 0 = 0 $.
Ответ: 0.

2) Для нахождения значения выражения $ \arccos\left(-\frac{1}{2}\right) - \arcsin\frac{\sqrt{3}}{2} $ вычислим уменьшаемое и вычитаемое отдельно.
Найдем $ \arccos\left(-\frac{1}{2}\right) $. Это угол $ \alpha $ из промежутка $ [0; \pi] $, для которого $ \cos \alpha = -\frac{1}{2} $. Для вычисления арккосинуса отрицательного числа можно использовать свойство $ \arccos(-a) = \pi - \arccos a $.
$ \arccos\left(-\frac{1}{2}\right) = \pi - \arccos\left(\frac{1}{2}\right) $.
Из таблицы значений тригонометрических функций известно, что $ \cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2} $, и $ \frac{\pi}{3} \in [0; \pi] $, поэтому $ \arccos\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{\pi}{3} $.
Следовательно, $ \arccos\left(-\frac{1}{2}\right) = \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{3\pi - \pi}{3} = \frac{2\pi}{3} $.
Найдем $ \arcsin\frac{\sqrt{3}}{2} $. Это угол $ \beta $ из промежутка $ [-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}] $, для которого $ \sin \beta = \frac{\sqrt{3}}{2} $. Этим углом является $ \frac{\pi}{3} $, так как $ \sin\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2} $. Следовательно, $ \arcsin\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\pi}{3} $.
Теперь выполним вычитание: $ \frac{2\pi}{3} - \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{3} $.
Ответ: $ \frac{\pi}{3} $.