Номер 663, страница 198 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 6. Тригонометрические уравнения. Упражнения к главе 6 - номер 663, страница 198.

Условие.

663 1) $2 \sin 2x = 3 \cos 2x$;

2) $4 \sin 3x + 5 \cos 3x = 0$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

1)

Дано уравнение $2 \sin 2x = 3 \cos 2x$.

Это однородное тригонометрическое уравнение первой степени. Для его решения разделим обе части уравнения на $\cos 2x$.

Предварительно убедимся, что $\cos 2x \ne 0$. Если предположить, что $\cos 2x = 0$, то из исходного уравнения следует, что $2 \sin 2x = 3 \cdot 0$, то есть $\sin 2x = 0$. Однако, $\sin 2x$ и $\cos 2x$ не могут быть равны нулю одновременно, так как это противоречит основному тригонометрическому тождеству $\sin^2 2x + \cos^2 2x = 1$. Следовательно, деление на $\cos 2x$ является равносильным преобразованием и не приведет к потере корней.

Разделим обе части уравнения на $\cos 2x$:

$\frac{2 \sin 2x}{\cos 2x} = \frac{3 \cos 2x}{\cos 2x}$

Используя определение тангенса $\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$, получаем:

$2 \tan 2x = 3$

$\tan 2x = \frac{3}{2}$

Общее решение уравнения $\tan y = a$ дается формулой $y = \arctan(a) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

В нашем случае:

$2x = \arctan\left(\frac{3}{2}\right) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$

Чтобы найти $x$, разделим обе части на 2:

$x = \frac{1}{2}\arctan\left(\frac{3}{2}\right) + \frac{\pi n}{2}, n \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = \frac{1}{2}\arctan\left(\frac{3}{2}\right) + \frac{\pi n}{2}, n \in \mathbb{Z}$

2)

Дано уравнение $4 \sin 3x + 5 \cos 3x = 0$.

Это также однородное тригонометрическое уравнение первой степени. Решим его методом деления обеих частей на $\cos 3x$.

Проверим, что $\cos 3x \ne 0$. Если бы $\cos 3x = 0$, то из уравнения следовало бы, что $4 \sin 3x + 5 \cdot 0 = 0$, откуда $\sin 3x = 0$. Как и в предыдущем пункте, это невозможно, так как нарушается основное тригонометрическое тождество $\sin^2 3x + \cos^2 3x = 1$. Значит, деление на $\cos 3x$ правомерно.

Разделим обе части уравнения на $\cos 3x$:

$\frac{4 \sin 3x}{\cos 3x} + \frac{5 \cos 3x}{\cos 3x} = \frac{0}{\cos 3x}$

$4 \tan 3x + 5 = 0$

$4 \tan 3x = -5$

$\tan 3x = -\frac{5}{4}$

Найдем общее решение для $3x$:

$3x = \arctan\left(-\frac{5}{4}\right) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$

Используя свойство нечетности арктангенса, $\arctan(-a) = -\arctan(a)$, перепишем решение:

$3x = -\arctan\left(\frac{5}{4}\right) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$

Разделим обе части на 3, чтобы выразить $x$:

$x = -\frac{1}{3}\arctan\left(\frac{5}{4}\right) + \frac{\pi n}{3}, n \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = -\frac{1}{3}\arctan\left(\frac{5}{4}\right) + \frac{\pi n}{3}, n \in \mathbb{Z}$