Номер 658, страница 197 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 6. Тригонометрические уравнения. Упражнения к главе 6 - номер 658, страница 197.

Условие.

658 1) $(1 + \sqrt{2} \cos x) (1 - 4 \sin x \cos x) = 0;$

2) $(1 - \sqrt{2} \cos x) (1 + 2 \sin 2x \cos 2x) = 0.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

1) $(1 + \sqrt{2} \cos x)(1 - 4 \sin x \cos x) = 0;$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Таким образом, данное уравнение равносильно совокупности двух уравнений:

а) $1 + \sqrt{2} \cos x = 0$

б) $1 - 4 \sin x \cos x = 0$

Решим первое уравнение:

$1 + \sqrt{2} \cos x = 0$

$\sqrt{2} \cos x = -1$

$\cos x = -\frac{1}{\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

Решения этого уравнения имеют вид $x = \pm \arccos(-\frac{\sqrt{2}}{2}) + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Так как $\arccos(-\frac{\sqrt{2}}{2}) = \pi - \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4}$, то получаем серию решений:

$x = \pm \frac{3\pi}{4} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Теперь решим второе уравнение. Используем формулу синуса двойного угла: $\sin(2\alpha) = 2 \sin \alpha \cos \alpha$.

$1 - 4 \sin x \cos x = 0$

$1 - 2 \cdot (2 \sin x \cos x) = 0$

$1 - 2 \sin(2x) = 0$

$2 \sin(2x) = 1$

$\sin(2x) = \frac{1}{2}$

Решения этого уравнения имеют вид $2x = (-1)^k \arcsin(\frac{1}{2}) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Так как $\arcsin(\frac{1}{2}) = \frac{\pi}{6}$, то $2x = (-1)^k \frac{\pi}{6} + \pi k$.

Разделив обе части на 2, получаем вторую серию решений:

$x = (-1)^k \frac{\pi}{12} + \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$.

Объединяем все найденные решения.

Ответ: $x = \pm \frac{3\pi}{4} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}; \quad x = (-1)^k \frac{\pi}{12} + \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$.

---

2) $(1 - \sqrt{2} \cos x)(1 + 2 \sin 2x \cos 2x) = 0.$

Данное уравнение эквивалентно совокупности двух уравнений, так как произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю:

а) $1 - \sqrt{2} \cos x = 0$

б) $1 + 2 \sin 2x \cos 2x = 0$

Решим первое уравнение:

$1 - \sqrt{2} \cos x = 0$

$\sqrt{2} \cos x = 1$

$\cos x = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Решения этого уравнения: $x = \pm \arccos(\frac{\sqrt{2}}{2}) + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Так как $\arccos(\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{\pi}{4}$, получаем:

$x = \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Теперь решим второе уравнение. Применим формулу синуса двойного угла $\sin(2\alpha) = 2 \sin \alpha \cos \alpha$ для аргумента $\alpha = 2x$.

$1 + 2 \sin 2x \cos 2x = 0$

$1 + \sin(2 \cdot 2x) = 0$

$1 + \sin(4x) = 0$

$\sin(4x) = -1$

Это частный случай уравнения для синуса. Его решения:

$4x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Разделив обе части на 4, получаем вторую серию решений:

$x = -\frac{\pi}{8} + \frac{2\pi k}{4} = -\frac{\pi}{8} + \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$.

Объединяем все найденные решения.

Ответ: $x = \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}; \quad x = -\frac{\pi}{8} + \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$.