Номер 665, страница 198 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 6. Тригонометрические уравнения. Упражнения к главе 6 - номер 665, страница 198.

Условие.

665 1) $ \sin 3x = \sin 5x; $

2) $ \cos^2 3x - \cos 3x \cos 5x = 0; $

3) $ \cos x = \cos 3x; $

4) $ \sin x \sin 5x - \sin^2 5x = 0. $

Решение 1.

Решение 2.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

1)

Исходное уравнение: $ \sin 3x = \sin 5x $.

Перенесем все члены в левую часть уравнения:

$ \sin 5x - \sin 3x = 0 $

Воспользуемся формулой разности синусов $ \sin \alpha - \sin \beta = 2 \sin\frac{\alpha-\beta}{2} \cos\frac{\alpha+\beta}{2} $:

$ 2 \sin\frac{5x-3x}{2} \cos\frac{5x+3x}{2} = 0 $

$ 2 \sin x \cos 4x = 0 $

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Таким образом, получаем совокупность двух уравнений:

а) $ \sin x = 0 $

Решением этого уравнения является $ x = k\pi $, где $ k \in \mathbb{Z} $.

б) $ \cos 4x = 0 $

Решением этого уравнения является $ 4x = \frac{\pi}{2} + n\pi $, что дает $ x = \frac{\pi}{8} + \frac{n\pi}{4} $, где $ n \in \mathbb{Z} $.

Ответ: $x = k\pi; \quad x = \frac{\pi}{8} + \frac{n\pi}{4}, \text{ где } k, n \in \mathbb{Z}$.

---

2)

Исходное уравнение: $ \cos^2 3x - \cos 3x \cos 5x = 0 $.

Вынесем общий множитель $ \cos 3x $ за скобки:

$ \cos 3x (\cos 3x - \cos 5x) = 0 $

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю:

а) $ \cos 3x = 0 $

Решением является $ 3x = \frac{\pi}{2} + k\pi $, откуда $ x = \frac{\pi}{6} + \frac{k\pi}{3} $, где $ k \in \mathbb{Z} $.

б) $ \cos 3x - \cos 5x = 0 $, или $ \cos 3x = \cos 5x $.

Используем формулу разности косинусов $ \cos \alpha - \cos \beta = -2 \sin\frac{\alpha+\beta}{2} \sin\frac{\alpha-\beta}{2} $:

$ -2 \sin\frac{3x+5x}{2} \sin\frac{3x-5x}{2} = 0 $

$ -2 \sin 4x \sin(-x) = 2 \sin 4x \sin x = 0 $

Отсюда получаем еще два уравнения:

$ \sin x = 0 \implies x = n\pi, n \in \mathbb{Z} $

$ \sin 4x = 0 \implies 4x = m\pi \implies x = \frac{m\pi}{4}, m \in \mathbb{Z} $

Заметим, что множество решений $ x = n\pi $ является подмножеством множества $ x = \frac{m\pi}{4} $ (при $ m = 4n $), поэтому решения второго случая можно записать как $ x = \frac{n\pi}{4} $.

Объединяя все найденные серии решений, получаем окончательный ответ.

Ответ: $x = \frac{\pi}{6} + \frac{k\pi}{3}; \quad x = \frac{n\pi}{4}, \text{ где } k, n \in \mathbb{Z}$.

---

3)

Исходное уравнение: $ \cos x = \cos 3x $.

Перенесем все члены в левую часть:

$ \cos 3x - \cos x = 0 $

Применим формулу разности косинусов $ \cos \alpha - \cos \beta = -2 \sin\frac{\alpha+\beta}{2} \sin\frac{\alpha-\beta}{2} $:

$ -2 \sin\frac{3x+x}{2} \sin\frac{3x-x}{2} = 0 $

$ -2 \sin 2x \sin x = 0 $

Это уравнение распадается на два:

а) $ \sin x = 0 $

Решением является $ x = n\pi $, где $ n \in \mathbb{Z} $.

б) $ \sin 2x = 0 $

Решением является $ 2x = k\pi $, откуда $ x = \frac{k\pi}{2} $, где $ k \in \mathbb{Z} $.

Множество решений $ x = n\pi $ является подмножеством множества $ x = \frac{k\pi}{2} $ (при $ k=2n $). Поэтому все решения можно описать одной формулой.

Ответ: $x = \frac{k\pi}{2}, \text{ где } k \in \mathbb{Z}$.

---

4)

Исходное уравнение: $ \sin x \sin 5x - \sin^2 5x = 0 $.

Вынесем общий множитель $ \sin 5x $ за скобки:

$ \sin 5x (\sin x - \sin 5x) = 0 $

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю:

а) $ \sin 5x = 0 $

Отсюда $ 5x = k\pi $, что дает $ x = \frac{k\pi}{5} $, где $ k \in \mathbb{Z} $.

б) $ \sin x - \sin 5x = 0 $, или $ \sin x = \sin 5x $.

Применим формулу разности синусов $ \sin \alpha - \sin \beta = 2 \sin\frac{\alpha-\beta}{2} \cos\frac{\alpha+\beta}{2} $ (для $ \sin 5x - \sin x = 0 $):

$ 2 \sin\frac{5x-x}{2} \cos\frac{5x+x}{2} = 0 $

$ 2 \sin 2x \cos 3x = 0 $

Это уравнение распадается на два:

$ \sin 2x = 0 \implies 2x = n\pi \implies x = \frac{n\pi}{2}, n \in \mathbb{Z} $

$ \cos 3x = 0 \implies 3x = \frac{\pi}{2} + m\pi \implies x = \frac{\pi}{6} + \frac{m\pi}{3}, m \in \mathbb{Z} $

Объединим все три полученные серии решений: $ x = \frac{k\pi}{5} $, $ x = \frac{n\pi}{2} $ и $ x = \frac{\pi}{6} + \frac{m\pi}{3} $.

Проверим, не является ли одна из серий избыточной. Серия $ x = \frac{n\pi}{2} $ полностью поглощается двумя другими. Если $ n $ — четное число ($ n=2p $), то $ x = p\pi $, что является частью серии $ x = \frac{k\pi}{5} $ при $ k=5p $. Если $ n $ — нечетное число ($ n=2p+1 $), то $ x = p\pi + \frac{\pi}{2} $, что является частью серии $ x = \frac{\pi}{6} + \frac{m\pi}{3} $ при $ m=3p+1 $. Следовательно, серию $ x = \frac{n\pi}{2} $ можно не включать в итоговый ответ.

Ответ: $x = \frac{k\pi}{5}; \quad x = \frac{\pi}{6} + \frac{n\pi}{3}, \text{ где } k, n \in \mathbb{Z}$.