Номер 666, страница 198 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 6. Тригонометрические уравнения. Упражнения к главе 6 - номер 666, страница 198.

Условие.

Вычислить (666—667).

666 1) $ \sin \left( \arccos \frac{\sqrt{3}}{2} \right) $;

2) $ \operatorname{tg} \left( \arccos \frac{1}{2} \right) $;

3) $ \operatorname{tg} \left( \arccos \frac{\sqrt{2}}{2} \right) $.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

1) Чтобы вычислить $sin\left(arccos\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$, обозначим $\alpha = arccos\frac{\sqrt{3}}{2}$.
По определению арккосинуса, это означает, что $cos(\alpha) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ и угол $\alpha$ находится в промежутке $[0, \pi]$.
Нам необходимо найти значение $sin(\alpha)$. Для этого воспользуемся основным тригонометрическим тождеством: $sin^2(\alpha) + cos^2(\alpha) = 1$.
Подставим известное значение косинуса в это тождество:
$sin^2(\alpha) + \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 = 1$
$sin^2(\alpha) + \frac{3}{4} = 1$
$sin^2(\alpha) = 1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4}$
Поскольку угол $\alpha$ принадлежит промежутку $[0, \pi]$, значение $sin(\alpha)$ должно быть неотрицательным. Следовательно, извлекая квадратный корень, получаем:
$sin(\alpha) = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}$.
Таким образом, $sin\left(arccos\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \frac{1}{2}$.
Ответ: $\frac{1}{2}$.

2) Чтобы вычислить $tg\left(arccos\frac{1}{2}\right)$, сначала определим значение $arccos\frac{1}{2}$.
По определению, $arccos\frac{1}{2}$ — это угол $\alpha$ из промежутка $[0, \pi]$, косинус которого равен $\frac{1}{2}$.
Из таблицы стандартных тригонометрических значений известно, что таким углом является $\alpha = \frac{\pi}{3}$.
Теперь подставим это значение в исходное выражение:
$tg\left(arccos\frac{1}{2}\right) = tg\left(\frac{\pi}{3}\right)$.
Значение тангенса для этого угла равно $\sqrt{3}$.
Ответ: $\sqrt{3}$.

3) Чтобы вычислить $tg\left(arccos\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$, сначала найдем значение $arccos\frac{\sqrt{2}}{2}$.
По определению, $arccos\frac{\sqrt{2}}{2}$ — это угол $\alpha$ из промежутка $[0, \pi]$, для которого $cos(\alpha) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
Этим углом является $\alpha = \frac{\pi}{4}$.
Подставим найденное значение в исходное выражение:
$tg\left(arccos\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = tg\left(\frac{\pi}{4}\right)$.
Значение тангенса для этого угла равно $1$.
Ответ: $1$.