Номер 2, страница 198 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 6. Тригонометрические уравнения. Проверь себя к главе 6 - номер 2, страница 198.

Условие.

2 Решить уравнение:

1) $ \sin 3x \cos x - \sin x \cos 3x = 1; $

2) $ 2 \cos^2 x + 5 \cos x = 3; $

3) $ \operatorname{tg} x - 3 \operatorname{ctg} x = 0; $

4) $ \sin 3x - \sin x = 0; $

5) $ 2 \sin x + \sin 2x = 0. $

Решение 1.

Решение 2.

Решение 5.

Решение 8.

1)
Исходное уравнение: $ \sin 3x \cos x - \sin x \cos 3x = 1 $.
Воспользуемся формулой синуса разности углов: $ \sin(\alpha - \beta) = \sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta $.
Применим эту формулу к левой части уравнения, где $ \alpha = 3x $ и $ \beta = x $:
$ \sin(3x - x) = 1 $
$ \sin(2x) = 1 $
Это простейшее тригонометрическое уравнение. Его решение имеет вид:
$ 2x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n $, где $ n \in Z $.
Разделим обе части на 2, чтобы найти $ x $:
$ x = \frac{\pi}{4} + \pi n $, где $ n \in Z $.
Ответ: $ x = \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in Z $.

2)
Исходное уравнение: $ 2 \cos^2 x + 5 \cos x = 3 $.
Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение относительно $ \cos x $:
$ 2 \cos^2 x + 5 \cos x - 3 = 0 $.
Сделаем замену переменной. Пусть $ t = \cos x $, где $ -1 \le t \le 1 $.
Уравнение принимает вид:
$ 2t^2 + 5t - 3 = 0 $.
Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта $ D = b^2 - 4ac $:
$ D = 5^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 25 + 24 = 49 = 7^2 $.
Найдем корни $ t_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} $:
$ t_1 = \frac{-5 - 7}{2 \cdot 2} = \frac{-12}{4} = -3 $.
$ t_2 = \frac{-5 + 7}{2 \cdot 2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} $.
Вернемся к замене.
1) $ \cos x = -3 $. Этот корень не подходит, так как область значений функции косинуса $ [-1, 1] $. Уравнение не имеет решений.
2) $ \cos x = \frac{1}{2} $.
Решение этого уравнения:
$ x = \pm \arccos\left(\frac{1}{2}\right) + 2\pi n $, где $ n \in Z $.
$ x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n $, где $ n \in Z $.
Ответ: $ x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n, n \in Z $.

3)
Исходное уравнение: $ \tg x - 3 \ctg x = 0 $.
Область допустимых значений (ОДЗ): $ \cos x \ne 0 $ и $ \sin x \ne 0 $, то есть $ x \ne \frac{\pi k}{2} $, где $ k \in Z $.
Используем тождество $ \ctg x = \frac{1}{\tg x} $:
$ \tg x - \frac{3}{\tg x} = 0 $.
Умножим обе части уравнения на $ \tg x $ (при условии $ \tg x \ne 0 $, что следует из ОДЗ):
$ \tg^2 x - 3 = 0 $
$ \tg^2 x = 3 $
$ \tg x = \pm\sqrt{3} $.
Рассмотрим два случая:
1) $ \tg x = \sqrt{3} $. Тогда $ x = \arctan(\sqrt{3}) + \pi n = \frac{\pi}{3} + \pi n $, где $ n \in Z $.
2) $ \tg x = -\sqrt{3} $. Тогда $ x = \arctan(-\sqrt{3}) + \pi n = -\frac{\pi}{3} + \pi n $, где $ n \in Z $.
Эти два семейства решений можно объединить в одну формулу:
$ x = \pm \frac{\pi}{3} + \pi n $, где $ n \in Z $.
Полученные значения удовлетворяют ОДЗ.
Ответ: $ x = \pm \frac{\pi}{3} + \pi n, n \in Z $.

4)
Исходное уравнение: $ \sin 3x - \sin x = 0 $.
Воспользуемся формулой разности синусов: $ \sin \alpha - \sin \beta = 2 \sin\left(\frac{\alpha - \beta}{2}\right) \cos\left(\frac{\alpha + \beta}{2}\right) $.
Применим эту формулу, где $ \alpha = 3x $ и $ \beta = x $:
$ 2 \sin\left(\frac{3x - x}{2}\right) \cos\left(\frac{3x + x}{2}\right) = 0 $
$ 2 \sin(x) \cos(2x) = 0 $.
Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю.
1) $ \sin x = 0 $.
Решение: $ x = \pi k $, где $ k \in Z $.
2) $ \cos 2x = 0 $.
Решение: $ 2x = \frac{\pi}{2} + \pi n $, где $ n \in Z $.
$ x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2} $, где $ n \in Z $.
Оба семейства корней являются решениями исходного уравнения.
Ответ: $ x = \pi k, k \in Z; \quad x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}, n \in Z $.

5)
Исходное уравнение: $ 2 \sin x + \sin 2x = 0 $.
Используем формулу синуса двойного угла: $ \sin 2x = 2 \sin x \cos x $.
Подставим в уравнение:
$ 2 \sin x + 2 \sin x \cos x = 0 $.
Вынесем общий множитель $ 2 \sin x $ за скобки:
$ 2 \sin x (1 + \cos x) = 0 $.
Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю.
1) $ \sin x = 0 $.
Решение: $ x = \pi n $, где $ n \in Z $.
2) $ 1 + \cos x = 0 $, то есть $ \cos x = -1 $.
Решение: $ x = \pi + 2\pi k = (2k+1)\pi $, где $ k \in Z $.
Обратим внимание, что второе семейство решений ($ x = (2k+1)\pi $) является подмножеством первого семейства ($ x = \pi n $), так как при любом целом $ k $, число $ 2k+1 $ является нечетным целым, а $ n $ может быть любым целым (четным или нечетным). Таким образом, все решения второго случая уже содержатся в решениях первого случая.
Следовательно, общее решение уравнения: $ x = \pi n $, где $ n \in Z $.
Ответ: $ x = \pi n, n \in Z $.