Номер 667, страница 198 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 6. Тригонометрические уравнения. Упражнения к главе 6 - номер 667, страница 198.

Условие.

667 1) $ \sin (4 \arcsin 1); $

2) $ \sin \left(3 \arcsin \frac{\sqrt{3}}{2}\right); $

3) $ \cos (6 \arcsin 1); $

4) $ \operatorname{tg} \left(4 \arcsin \frac{\sqrt{2}}{2}\right). $

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

1) Для вычисления $ \sin(4 \arcsin 1) $, сначала найдем значение $ \arcsin 1 $. По определению, $ \arcsin x $ — это угол $ \alpha $ из промежутка $ [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}] $, синус которого равен $ x $. Угол, синус которого равен 1, на этом промежутке — это $ \frac{\pi}{2} $. Таким образом, $ \arcsin 1 = \frac{\pi}{2} $.
Подставим это значение в исходное выражение:
$ \sin(4 \cdot \frac{\pi}{2}) = \sin(2\pi) $
Значение синуса от $ 2\pi $ равно 0.
$ \sin(2\pi) = 0 $
Ответ: 0

2) Рассмотрим выражение $ \sin(3 \arcsin \frac{\sqrt{3}}{2}) $. Сначала найдем значение $ \arcsin \frac{\sqrt{3}}{2} $. Это угол $ \alpha $ из промежутка $ [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}] $, для которого $ \sin \alpha = \frac{\sqrt{3}}{2} $. Этим углом является $ \frac{\pi}{3} $.
Следовательно, $ \arcsin \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\pi}{3} $.
Подставим это значение обратно в выражение:
$ \sin(3 \cdot \frac{\pi}{3}) = \sin(\pi) $
Значение синуса от $ \pi $ равно 0.
$ \sin(\pi) = 0 $
Ответ: 0

3) Вычислим $ \cos(6 \arcsin 1) $. Как и в первом пункте, $ \arcsin 1 = \frac{\pi}{2} $.
Подставим это значение в выражение:
$ \cos(6 \cdot \frac{\pi}{2}) = \cos(3\pi) $
Поскольку функция косинуса имеет период $ 2\pi $, мы можем упростить аргумент:
$ \cos(3\pi) = \cos(3\pi - 2\pi) = \cos(\pi) $
Значение косинуса от $ \pi $ равно -1.
$ \cos(\pi) = -1 $
Ответ: -1

4) Рассмотрим выражение $ \tg(4 \arcsin \frac{\sqrt{2}}{2}) $. Найдем значение $ \arcsin \frac{\sqrt{2}}{2} $. Это угол $ \alpha $ из промежутка $ [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}] $, для которого $ \sin \alpha = \frac{\sqrt{2}}{2} $. Этим углом является $ \frac{\pi}{4} $.
Значит, $ \arcsin \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\pi}{4} $.
Подставим это значение в исходное выражение:
$ \tg(4 \cdot \frac{\pi}{4}) = \tg(\pi) $
Тангенс угла $ \pi $ вычисляется как отношение синуса к косинусу:
$ \tg(\pi) = \frac{\sin(\pi)}{\cos(\pi)} = \frac{0}{-1} = 0 $
Ответ: 0