Номер 673, страница 198 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 6. Тригонометрические уравнения. Упражнения к главе 6 - номер 673, страница 198.

Условие.

673 1) $\sin^2 x + \sin^2 2x = 1;$

2) $\sin^2 x + \cos^2 2x = 1;$

3) $\sin 4x = 6 \cos^2 2x - 4;$

4) $2 \cos^2 3x + \sin 5x = 1.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

1) Решим уравнение $sin^2 x + sin^2 2x = 1$.

Используем основное тригонометрическое тождество $sin^2 \alpha + cos^2 \alpha = 1$, чтобы выразить $1 - sin^2 x$ как $cos^2 x$.

$sin^2 2x = 1 - sin^2 x$

$sin^2 2x = cos^2 x$

Перенесем все члены в левую часть:

$sin^2 2x - cos^2 x = 0$

Применим формулу синуса двойного угла $sin 2x = 2 sin x cos x$:

$(2 sin x cos x)^2 - cos^2 x = 0$

$4 sin^2 x cos^2 x - cos^2 x = 0$

Вынесем общий множитель $cos^2 x$ за скобки:

$cos^2 x (4 sin^2 x - 1) = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Это приводит к двум уравнениям:

а) $cos^2 x = 0 \implies cos x = 0$

Отсюда находим первую серию решений: $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

б) $4 sin^2 x - 1 = 0 \implies sin^2 x = \frac{1}{4} \implies sin x = \pm \frac{1}{2}$

Отсюда находим вторую серию решений: $x = \pm \frac{\pi}{6} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}; \quad x = \pm \frac{\pi}{6} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

2) Решим уравнение $sin^2 x + cos^2 2x = 1$.

Используя основное тригонометрическое тождество, заменим $1 - sin^2 x$ на $cos^2 x$.

$cos^2 2x = 1 - sin^2 x$

$cos^2 2x = cos^2 x$

Применим формулу понижения степени $cos^2 \alpha = \frac{1 + cos(2\alpha)}{2}$ к обеим частям уравнения:

$\frac{1 + cos(4x)}{2} = \frac{1 + cos(2x)}{2}$

Умножим обе части на 2 и упростим:

$1 + cos(4x) = 1 + cos(2x)$

$cos(4x) - cos(2x) = 0$

Воспользуемся формулой разности косинусов $cos \alpha - cos \beta = -2 sin(\frac{\alpha+\beta}{2}) sin(\frac{\alpha-\beta}{2})$:

$-2 sin(\frac{4x+2x}{2}) sin(\frac{4x-2x}{2}) = 0$

$-2 sin(3x) sin(x) = 0$

Это уравнение распадается на два:

а) $sin(x) = 0 \implies x = \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

б) $sin(3x) = 0 \implies 3x = \pi n \implies x = \frac{\pi n}{3}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Заметим, что первая серия решений ($x = \pi k$) является подмножеством второй серии ($x = \frac{\pi n}{3}$, когда $n$ кратно 3). Следовательно, все решения можно описать одной формулой.

Ответ: $x = \frac{\pi n}{3}, n \in \mathbb{Z}$.

3) Решим уравнение $sin 4x = 6 cos^2 2x - 4$.

Применим формулу синуса двойного угла $sin 4x = 2 sin(2x) cos(2x)$.

$2 sin(2x) cos(2x) = 6 cos^2(2x) - 4$

Заменим 4 на $4(sin^2(2x) + cos^2(2x))$ с помощью основного тригонометрического тождества:

$2 sin(2x) cos(2x) = 6 cos^2(2x) - 4(sin^2(2x) + cos^2(2x))$

$2 sin(2x) cos(2x) = 6 cos^2(2x) - 4 sin^2(2x) - 4 cos^2(2x)$

$2 sin(2x) cos(2x) = 2 cos^2(2x) - 4 sin^2(2x)$

Перенесем все члены в одну сторону и разделим на 2:

$2 sin^2(2x) + sin(2x) cos(2x) - cos^2(2x) = 0$

Это однородное тригонометрическое уравнение второй степени. Проверим случай, когда $cos(2x) = 0$. Если $cos(2x) = 0$, то $sin^2(2x) = 1$, и уравнение принимает вид $2 \cdot 1 + 0 - 0 = 2 \neq 0$. Значит, $cos(2x) \neq 0$.

Разделим уравнение на $cos^2(2x)$:

$2 \frac{sin^2(2x)}{cos^2(2x)} + \frac{sin(2x)cos(2x)}{cos^2(2x)} - \frac{cos^2(2x)}{cos^2(2x)} = 0$

$2 tan^2(2x) + tan(2x) - 1 = 0$

Сделаем замену $t = tan(2x)$. Получим квадратное уравнение $2t^2 + t - 1 = 0$.

Найдем корни по формуле: $t = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4(2)(-1)}}{2(2)} = \frac{-1 \pm \sqrt{9}}{4} = \frac{-1 \pm 3}{4}$.

Получаем два значения для $t$:

$t_1 = \frac{-1+3}{4} = \frac{1}{2}$ и $t_2 = \frac{-1-3}{4} = -1$.

Возвращаемся к переменной $x$:

а) $tan(2x) = -1 \implies 2x = -\frac{\pi}{4} + \pi k \implies x = -\frac{\pi}{8} + \frac{\pi k}{2}$, где $k \in \mathbb{Z}$.

б) $tan(2x) = \frac{1}{2} \implies 2x = arctan(\frac{1}{2}) + \pi n \implies x = \frac{1}{2} arctan(\frac{1}{2}) + \frac{\pi n}{2}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = -\frac{\pi}{8} + \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}; \quad x = \frac{1}{2}arctan(\frac{1}{2}) + \frac{\pi n}{2}, n \in \mathbb{Z}$.

4) Решим уравнение $2 cos^2 3x + sin 5x = 1$.

Используем формулу понижения степени $2 cos^2 \alpha = 1 + cos(2\alpha)$:

$1 + cos(2 \cdot 3x) + sin 5x = 1$

$cos(6x) + sin 5x = 0$

$cos(6x) = -sin(5x)$

Воспользуемся формулой приведения $sin \alpha = cos(\frac{\pi}{2} - \alpha)$. Сначала используем нечетность синуса: $-sin(5x) = sin(-5x)$.

$cos(6x) = sin(-5x)$

$cos(6x) = cos(\frac{\pi}{2} - (-5x))$

$cos(6x) = cos(\frac{\pi}{2} + 5x)$

Равенство косинусов $cos A = cos B$ выполняется, если $A = \pm B + 2\pi n$.

$6x = \pm(\frac{\pi}{2} + 5x) + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Рассмотрим два случая:

а) $6x = \frac{\pi}{2} + 5x + 2\pi n$

$x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

б) $6x = -(\frac{\pi}{2} + 5x) + 2\pi k$

$6x = -\frac{\pi}{2} - 5x + 2\pi k$

$11x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k$

$x = -\frac{\pi}{22} + \frac{2\pi k}{11}$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}; \quad x = -\frac{\pi}{22} + \frac{2\pi k}{11}, k \in \mathbb{Z}$.