Номер 678, страница 199 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 6. Тригонометрические уравнения. Упражнения к главе 6 - номер 678, страница 199.

Условие.

Решить уравнение (678—684).

678 1) $\frac{\sin 2x}{\sin x} = 0;$

2) $\frac{\sin 3x}{\sin x} = 0;$

3) $\frac{\cos 2x}{\cos x} = 0;$

4) $\frac{\cos 3x}{\cos x} = 0;$

5) $\frac{\sin x}{\sin 5x} = 0;$

6) $\frac{\cos x}{\cos 7x} = 0.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

1) Исходное уравнение $\frac{\sin 2x}{\sin x} = 0$ равносильно системе:

$\begin{cases} \sin 2x = 0 \\ \sin x \neq 0 \end{cases}$

Решим первое уравнение: $\sin 2x = 0$.

Это частный случай, решение которого $2x = \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Отсюда находим $x = \frac{\pi k}{2}$, $k \in \mathbb{Z}$.

Теперь учтем второе условие системы: $\sin x \neq 0$.

$\sin x = 0$ при $x = \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$. Следовательно, $x \neq \pi n$.

Исключим из найденных решений $x = \frac{\pi k}{2}$ те, которые удовлетворяют условию $x = \pi n$.

$\frac{\pi k}{2} = \pi n \implies k = 2n$.

Это означает, что значения $k$ не должны быть четными. Следовательно, $k$ — нечетное число.

Пусть $k = 2n + 1$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Тогда решения уравнения: $x = \frac{\pi (2n+1)}{2} = \frac{\pi}{2} + \pi n$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

2) Исходное уравнение $\frac{\sin 3x}{\sin x} = 0$ равносильно системе:

$\begin{cases} \sin 3x = 0 \\ \sin x \neq 0 \end{cases}$

Решим первое уравнение: $\sin 3x = 0$.

$3x = \pi k \implies x = \frac{\pi k}{3}$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Учтем второе условие: $\sin x \neq 0$, то есть $x \neq \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Исключим из решений $x = \frac{\pi k}{3}$ те, для которых $x = \pi n$.

$\frac{\pi k}{3} = \pi n \implies k = 3n$.

Это означает, что $k$ не должно быть кратно 3.

Альтернативный способ: используем формулу синуса тройного угла $\sin 3x = 3\sin x - 4\sin^3 x$.

$\frac{3\sin x - 4\sin^3 x}{\sin x} = 0 \implies \frac{\sin x (3 - 4\sin^2 x)}{\sin x} = 0$.

При условии $\sin x \neq 0$, мы можем сократить дробь и получить уравнение $3 - 4\sin^2 x = 0$.

$\sin^2 x = \frac{3}{4} \implies \sin x = \pm\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Решениями этого уравнения являются серии $x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n$ и $x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$, которые можно объединить в одну формулу: $x = \pm \frac{\pi}{3} + \pi n$.

Ответ: $x = \pm \frac{\pi}{3} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

3) Исходное уравнение $\frac{\cos 2x}{\cos x} = 0$ равносильно системе:

$\begin{cases} \cos 2x = 0 \\ \cos x \neq 0 \end{cases}$

Решим первое уравнение: $\cos 2x = 0$.

$2x = \frac{\pi}{2} + \pi k \implies x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Учтем второе условие: $\cos x \neq 0$, то есть $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Проверим, есть ли среди наших решений недопустимые значения:

$\frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2} = \frac{\pi}{2} + \pi n$. Умножим обе части на 4 и разделим на $\pi$:

$1 + 2k = 2 + 4n \implies 2k = 1 + 4n$.

В левой части стоит четное число, а в правой — нечетное. Равенство невозможно для целых $k$ и $n$.

Следовательно, все найденные решения удовлетворяют условию $\cos x \neq 0$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}, n \in \mathbb{Z}$.

4) Исходное уравнение $\frac{\cos 3x}{\cos x} = 0$ равносильно системе:

$\begin{cases} \cos 3x = 0 \\ \cos x \neq 0 \end{cases}$

Решим первое уравнение: $\cos 3x = 0$.

$3x = \frac{\pi}{2} + \pi k \implies x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi k}{3}$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Учтем второе условие: $\cos x \neq 0$, то есть $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Исключим недопустимые значения. Приравняем общие формулы для корней:

$\frac{\pi}{6} + \frac{\pi k}{3} = \frac{\pi}{2} + \pi n$. Умножим на 6 и разделим на $\pi$:

$1 + 2k = 3 + 6n \implies 2k = 2 + 6n \implies k = 1 + 3n$.

Это означает, что $k$ не должно давать остаток 1 при делении на 3.

Используем формулу косинуса тройного угла $\cos 3x = 4\cos^3 x - 3\cos x$.

$\frac{4\cos^3 x - 3\cos x}{\cos x} = 0 \implies \frac{\cos x (4\cos^2 x - 3)}{\cos x} = 0$.

При условии $\cos x \neq 0$, получаем $4\cos^2 x - 3 = 0$.

$\cos^2 x = \frac{3}{4} \implies \cos x = \pm\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Решениями этого уравнения являются $x = \pm \frac{\pi}{6} + \pi n$.

Ответ: $x = \pm \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

5) Исходное уравнение $\frac{\sin x}{\sin 5x} = 0$ равносильно системе:

$\begin{cases} \sin x = 0 \\ \sin 5x \neq 0 \end{cases}$

Решим первое уравнение: $\sin x = 0$.

$x = \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Теперь подставим эти значения во второе условие, чтобы проверить его:

$\sin(5x) = \sin(5 \cdot \pi k) = \sin(5\pi k)$.

Поскольку $5k$ является целым числом для любого целого $k$, $\sin(5\pi k) = 0$.

Это противоречит условию $\sin 5x \neq 0$. Следовательно, ни одно из значений $x = \pi k$ не является решением.

Ответ: решений нет.

6) Исходное уравнение $\frac{\cos x}{\cos 7x} = 0$ равносильно системе:

$\begin{cases} \cos x = 0 \\ \cos 7x \neq 0 \end{cases}$

Решим первое уравнение: $\cos x = 0$.

$x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Подставим эти значения в условие для знаменателя:

$\cos(7x) = \cos(7(\frac{\pi}{2} + \pi k)) = \cos(\frac{7\pi}{2} + 7\pi k)$.

Используя свойства косинуса: $\cos(\frac{7\pi}{2} + 7\pi k) = \cos(3\pi + \frac{\pi}{2} + 7\pi k) = \cos(\frac{\pi}{2} + (10k+3)\pi)$.

Так как $10k+3$ является нечетным числом, то $\cos(\frac{\pi}{2} + \text{нечетное} \cdot \pi) = 0$.

Это противоречит условию $\cos 7x \neq 0$. Следовательно, ни одно из значений $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$ не является решением.

Ответ: решений нет.