Номер 683, страница 199 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 6. Тригонометрические уравнения. Упражнения к главе 6 - номер 683, страница 199.

Условие.

683 $\sqrt{-4 \cos x \cos 2x} = \sqrt{7 \sin 2x}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

Решим уравнение $ \sqrt{-4 \cos x \cos 2x} = \sqrt{7 \sin 2x} $.

В первую очередь определим область допустимых значений (ОДЗ). Подкоренные выражения должны быть неотрицательными: $$ \begin{cases} -4 \cos x \cos 2x \ge 0 \\ 7 \sin 2x \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} \cos x \cos 2x \le 0 \\ \sin 2x \ge 0 \end{cases} $$ Эти два условия должны выполняться одновременно.

Так как обе части уравнения неотрицательны, возведем их в квадрат, чтобы избавиться от корней: $$ -4 \cos x \cos 2x = 7 \sin 2x $$ Используем формулу двойного угла $\sin 2x = 2 \sin x \cos x$ и перенесем все слагаемые в одну сторону: $$ -4 \cos x \cos 2x - 14 \sin x \cos x = 0 $$ Вынесем общий множитель $-2 \cos x$ за скобки: $$ -2 \cos x (2 \cos 2x + 7 \sin x) = 0 $$ Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Рассмотрим два случая.

Первый случай: $\cos x = 0$. Решением этого уравнения является серия корней $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$. Проверим эти корни на соответствие ОДЗ. Если $\cos x = 0$, то первое условие ОДЗ, $\cos x \cos 2x \le 0$, превращается в $0 \le 0$, что верно. Второе условие, $\sin 2x \ge 0$, также выполняется, так как $\sin 2x = 2 \sin x \cos x = 0$. Следовательно, серия корней $x = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$ полностью удовлетворяет исходному уравнению.

Второй случай: $2 \cos 2x + 7 \sin x = 0$. Для решения этого уравнения выразим $\cos 2x$ через $\sin x$ с помощью формулы $\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x$: $$ 2(1 - 2\sin^2 x) + 7 \sin x = 0 $$ $$ 2 - 4\sin^2 x + 7 \sin x = 0 $$ $$ 4\sin^2 x - 7 \sin x - 2 = 0 $$ Это квадратное уравнение относительно $\sin x$. Сделав замену $t = \sin x$ (при $|t| \le 1$), получим $4t^2 - 7t - 2 = 0$. Дискриминант $D = (-7)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-2) = 49 + 32 = 81$. Корни уравнения: $$ t_1 = \frac{7 + \sqrt{81}}{8} = \frac{16}{8} = 2 $$ $$ t_2 = \frac{7 - \sqrt{81}}{8} = \frac{-2}{8} = -\frac{1}{4} $$ Корень $t_1=2$ не является решением, так как область значений синуса $[-1, 1]$. Остается единственный вариант: $\sin x = -1/4$.

Проверим, при каких условиях решения уравнения $\sin x = -1/4$ удовлетворяют ОДЗ. Напомним ОДЗ: $\sin 2x \ge 0$ и $\cos x \cos 2x \le 0$. Выразим $\sin 2x$ и $\cos 2x$ через $\sin x = -1/4$: $\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x = 1 - 2\left(-\frac{1}{4}\right)^2 = 1 - \frac{1}{8} = \frac{7}{8}$. Так как $\cos 2x = 7/8 > 0$, то условие $\cos x \cos 2x \le 0$ сводится к $\cos x \le 0$. Условие $\sin 2x \ge 0$ можно записать как $2 \sin x \cos x \ge 0$. Подставив $\sin x = -1/4$, получим $2\left(-\frac{1}{4}\right)\cos x \ge 0 \implies -\frac{1}{2} \cos x \ge 0 \implies \cos x \le 0$. Таким образом, оба условия ОДЗ для случая $\sin x = -1/4$ эквивалентны одному: $\cos x \le 0$. Нам нужно найти такие значения $x$, для которых одновременно $\sin x = -1/4$ и $\cos x \le 0$. Это соответствует углам в третьей координатной четверти. Решения уравнения $\sin x = -1/4$ имеют вид $x = \arcsin\left(-\frac{1}{4}\right) + 2\pi k$ (IV четверть, $\cos x > 0$) и $x = \pi - \arcsin\left(-\frac{1}{4}\right) + 2\pi k$ (III четверть, $\cos x < 0$). Нам подходит вторая серия решений: $x = \pi - \left(-\arcsin\left(\frac{1}{4}\right)\right) + 2\pi k = \pi + \arcsin\left(\frac{1}{4}\right) + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Объединяя решения из обоих случаев, получаем окончательный ответ.
Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + \pi k, \quad x = \pi + \arcsin\left(\frac{1}{4}\right) + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$.