Номер 687, страница 200 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 6. Тригонометрические уравнения. Упражнения к главе 6 - номер 687, страница 200.

Условие.

687 При каких значениях $a$ уравнение

$ \sin^4 x + \cos^4 x = a $

имеет корни? Найти эти корни.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

При каких значениях $a$ уравнение $\sin^4 x + \cos^4 x = a$ имеет корни?

Уравнение имеет корни, если параметр $a$ принадлежит множеству значений функции $f(x) = \sin^4 x + \cos^4 x$. Найдем это множество значений.

Преобразуем левую часть уравнения, используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ и формулу для квадрата суммы $(u+v)^2=u^2+2uv+v^2$.

$\sin^4 x + \cos^4 x = (\sin^2 x)^2 + (\cos^2 x)^2 = (\sin^2 x + \cos^2 x)^2 - 2\sin^2 x \cos^2 x = 1 - 2\sin^2 x \cos^2 x$.

Далее используем формулу синуса двойного угла $\sin(2x) = 2\sin x \cos x$. Возведя это тождество в квадрат, получим $\sin^2(2x) = 4\sin^2 x \cos^2 x$, откуда следует, что $2\sin^2 x \cos^2 x = \frac{1}{2}\sin^2(2x)$.

Подставив это в наше выражение, получаем:

$f(x) = 1 - \frac{1}{2}\sin^2(2x)$.

Теперь определим множество значений функции $f(x)$. Значение квадрата синуса всегда находится в пределах от 0 до 1:

$0 \le \sin^2(2x) \le 1$.

Умножим все части двойного неравенства на $-\frac{1}{2}$, изменив знаки неравенства на противоположные:

$-\frac{1}{2} \le -\frac{1}{2}\sin^2(2x) \le 0$.

Теперь прибавим 1 ко всем частям неравенства:

$1 - \frac{1}{2} \le 1 - \frac{1}{2}\sin^2(2x) \le 1+0$.

В результате получаем:

$\frac{1}{2} \le f(x) \le 1$.

Таким образом, множество значений функции $f(x) = \sin^4 x + \cos^4 x$ — это отрезок $[\frac{1}{2}, 1]$. Уравнение имеет корни тогда и только тогда, когда параметр $a$ принадлежит этому отрезку.

Ответ: $a \in [\frac{1}{2}, 1]$.

Найти эти корни.

Теперь решим уравнение $\sin^4 x + \cos^4 x = a$ при условии, что $a \in [\frac{1}{2}, 1]$.

Из предыдущего пункта мы знаем, что данное уравнение эквивалентно следующему:

$1 - \frac{1}{2}\sin^2(2x) = a$.

Для нахождения $x$ удобно перейти к функции косинуса. Используем формулу понижения степени $\sin^2 \alpha = \frac{1-\cos(2\alpha)}{2}$. Применим ее для $\alpha = 2x$:

$1 - \frac{1}{2} \cdot \frac{1-\cos(4x)}{2} = a$.

$1 - \frac{1-\cos(4x)}{4} = a$.

Приведем левую часть к общему знаменателю:

$\frac{4 - (1-\cos(4x))}{4} = a$.

$\frac{3+\cos(4x)}{4} = a$.

Отсюда выражаем $\cos(4x)$:

$3+\cos(4x) = 4a$.

$\cos(4x) = 4a - 3$.

Мы получили простейшее тригонометрическое уравнение. Поскольку $a \in [\frac{1}{2}, 1]$, то $4a-3 \in [-1, 1]$, что является областью значений косинуса, поэтому уравнение всегда имеет решения при указанных $a$.

Общее решение для уравнения $\cos(u)=b$ имеет вид $u = \pm \arccos(b) + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

В нашем случае $u=4x$ и $b=4a-3$, поэтому:

$4x = \pm \arccos(4a - 3) + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Разделив обе части на 4, находим искомые корни $x$:

$x = \pm \frac{1}{4}\arccos(4a - 3) + \frac{\pi k}{2}$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \pm \frac{1}{4}\arccos(4a - 3) + \frac{\pi k}{2}$, где $k \in \mathbb{Z}$.