Номер 693, страница 204 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 7. Тригонометрические функции. Параграф 38. Область определения и множество значений тригонометрических функций - номер 693, страница 204.

Условие.

Найти область определения функции (693–695).

693 1) $y = \frac{1}{\cos x}$;

2) $y = \frac{2}{\sin x}$;

3) $y = \operatorname{tg} \frac{x}{3}$;

4) $y = \operatorname{tg} 5x$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

1) Область определения функции $y = \frac{1}{\cos x}$ находится из условия, что знаменатель дроби не должен быть равен нулю. Таким образом, $\cos x \neq 0$.

Уравнение $\cos x = 0$ имеет решения $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n$ — любое целое число ($n \in \mathbb{Z}$).

Следовательно, область определения функции — это все действительные числа, кроме тех, для которых $\cos x = 0$.

Ответ: $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

2) Для функции $y = \frac{2}{\sin x}$ знаменатель $\sin x$ не должен быть равен нулю. Таким образом, $\sin x \neq 0$.

Уравнение $\sin x = 0$ имеет решения $x = \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Следовательно, область определения функции — это все действительные числа, кроме тех, для которых $\sin x = 0$.

Ответ: $x \neq \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

3) Функция тангенса $y = \operatorname{tg} \frac{x}{3}$ определена, когда косинус ее аргумента не равен нулю, так как $\operatorname{tg} \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$.

В данном случае аргумент равен $\frac{x}{3}$, поэтому должно выполняться условие $\cos \frac{x}{3} \neq 0$.

Решением уравнения $\cos \frac{x}{3} = 0$ являются значения $\frac{x}{3} = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Умножая обе части на 3, получаем $x = \frac{3\pi}{2} + 3\pi n$.

Таким образом, область определения — это все действительные числа, кроме этих значений.

Ответ: $x \neq \frac{3\pi}{2} + 3\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

4) Для функции $y = \operatorname{tg} 5x$ область определения находится из условия, что косинус аргумента не равен нулю. Аргумент равен $5x$, следовательно, $\cos 5x \neq 0$.

Уравнение $\cos 5x = 0$ имеет решения $5x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Разделив обе части на 5, получаем $x = \frac{\pi}{10} + \frac{\pi n}{5}$.

Таким образом, область определения — это все действительные числа, кроме этих значений.

Ответ: $x \neq \frac{\pi}{10} + \frac{\pi n}{5}, n \in \mathbb{Z}$.