Номер 696, страница 204 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

§ 38. Область определения и множество значений тригонометрических функций. Глава 7. Тригонометрические функции - номер 696, страница 204.

696 Найти множество значений функции:

1) $y = 2 \sin^2 x - \cos 2x;$

2) $y = 1 - 8 \cos^2 x \sin^2 x;$

3) $y = \frac{1+8 \cos^2 x}{4};$

4) $y = 10 - 9 \sin^2 3x;$

5) $y = 1 - 2 |\cos x|;$

6) $y = \sin x + \sin \left(x+\frac{\pi}{3}\right).$

1) $y = 2 \sin^2 x - \cos 2x$

Для нахождения множества значений функции преобразуем выражение, используя формулу косинуса двойного угла: $\cos 2x = 1 - 2 \sin^2 x$.

$y = 2 \sin^2 x - (1 - 2 \sin^2 x) = 2 \sin^2 x - 1 + 2 \sin^2 x = 4 \sin^2 x - 1$.

Множество значений для $\sin x$ есть отрезок $[-1, 1]$.

Следовательно, множество значений для $\sin^2 x$ есть отрезок $[0, 1]$.

Пусть $t = \sin^2 x$, где $t \in [0, 1]$. Тогда функция принимает вид $y = 4t - 1$.

Найдем значения $y$ на концах отрезка $[0, 1]$:

При $t=0$: $y = 4 \cdot 0 - 1 = -1$ (минимальное значение).

При $t=1$: $y = 4 \cdot 1 - 1 = 3$ (максимальное значение).

Таким образом, множество значений функции — это отрезок $[-1, 3]$.

Ответ: $E(y) = [-1, 3]$.

2) $y = 1 - 8 \cos^2 x \sin^2 x$

Преобразуем выражение, используя формулу синуса двойного угла: $\sin 2x = 2 \sin x \cos x$. Возведя в квадрат, получим $\sin^2 2x = 4 \sin^2 x \cos^2 x$.

$y = 1 - 2 \cdot (4 \cos^2 x \sin^2 x) = 1 - 2 \sin^2 (2x)$.

Множество значений для $\sin(2x)$ есть отрезок $[-1, 1]$.

Следовательно, множество значений для $\sin^2 (2x)$ есть отрезок $[0, 1]$.

Пусть $t = \sin^2 (2x)$, где $t \in [0, 1]$. Тогда функция принимает вид $y = 1 - 2t$.

Найдем значения $y$ на концах отрезка $[0, 1]$:

При $t=0$: $y = 1 - 2 \cdot 0 = 1$ (максимальное значение).

При $t=1$: $y = 1 - 2 \cdot 1 = -1$ (минимальное значение).

Таким образом, множество значений функции — это отрезок $[-1, 1]$.

Ответ: $E(y) = [-1, 1]$.

3) $y = \frac{1 + 8 \cos^2 x}{4}$

Преобразуем выражение, разделив почленно:

$y = \frac{1}{4} + \frac{8 \cos^2 x}{4} = \frac{1}{4} + 2 \cos^2 x$.

Множество значений для $\cos x$ есть отрезок $[-1, 1]$.

Следовательно, множество значений для $\cos^2 x$ есть отрезок $[0, 1]$.

Пусть $t = \cos^2 x$, где $t \in [0, 1]$. Тогда функция принимает вид $y = \frac{1}{4} + 2t$.

Найдем значения $y$ на концах отрезка $[0, 1]$:

При $t=0$: $y = \frac{1}{4} + 2 \cdot 0 = \frac{1}{4}$ (минимальное значение).

При $t=1$: $y = \frac{1}{4} + 2 \cdot 1 = \frac{1}{4} + 2 = \frac{9}{4}$ (максимальное значение).

Таким образом, множество значений функции — это отрезок $[\frac{1}{4}, \frac{9}{4}]$.

Ответ: $E(y) = [\frac{1}{4}, \frac{9}{4}]$.

4) $y = 10 - 9 \sin^2 3x$

Множество значений для $\sin(3x)$ есть отрезок $[-1, 1]$.

Следовательно, множество значений для $\sin^2 (3x)$ есть отрезок $[0, 1]$.

Пусть $t = \sin^2 (3x)$, где $t \in [0, 1]$. Тогда функция принимает вид $y = 10 - 9t$.

Найдем значения $y$ на концах отрезка $[0, 1]$:

При $t=0$: $y = 10 - 9 \cdot 0 = 10$ (максимальное значение).

При $t=1$: $y = 10 - 9 \cdot 1 = 1$ (минимальное значение).

Таким образом, множество значений функции — это отрезок $[1, 10]$.

Ответ: $E(y) = [1, 10]$.

5) $y = 1 - 2 |\cos x|$

Множество значений для $\cos x$ есть отрезок $[-1, 1]$.

Следовательно, множество значений для $|\cos x|$ есть отрезок $[0, 1]$.

Пусть $t = |\cos x|$, где $t \in [0, 1]$. Тогда функция принимает вид $y = 1 - 2t$.

Найдем значения $y$ на концах отрезка $[0, 1]$:

При $t=0$: $y = 1 - 2 \cdot 0 = 1$ (максимальное значение).

При $t=1$: $y = 1 - 2 \cdot 1 = -1$ (минимальное значение).

Таким образом, множество значений функции — это отрезок $[-1, 1]$.

Ответ: $E(y) = [-1, 1]$.

6) $y = \sin x + \sin\left(x + \frac{\pi}{3}\right)$

Для нахождения множества значений используем формулу суммы синусов: $\sin \alpha + \sin \beta = 2 \sin\frac{\alpha+\beta}{2} \cos\frac{\alpha-\beta}{2}$.

$y = 2 \sin\frac{x + x + \frac{\pi}{3}}{2} \cos\frac{x - (x + \frac{\pi}{3})}{2} = 2 \sin\frac{2x + \frac{\pi}{3}}{2} \cos\frac{-\frac{\pi}{3}}{2} = 2 \sin\left(x + \frac{\pi}{6}\right) \cos\left(-\frac{\pi}{6}\right)$.

Так как $\cos(-\alpha) = \cos \alpha$, то $\cos\left(-\frac{\pi}{6}\right) = \cos\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Подставляем значение косинуса в выражение:

$y = 2 \sin\left(x + \frac{\pi}{6}\right) \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3} \sin\left(x + \frac{\pi}{6}\right)$.

Множество значений для $\sin\left(x + \frac{\pi}{6}\right)$ есть отрезок $[-1, 1]$.

Следовательно, умножив на $\sqrt{3}$, получаем, что множество значений для $y$ есть отрезок $[-\sqrt{3}, \sqrt{3}]$.

Ответ: $E(y) = [-\sqrt{3}, \sqrt{3}]$.