Номер 703, страница 207 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 7. Тригонометрические функции. Параграф 39. Чётность, нечётность, периодичность тригонометрических функций - номер 703, страница 207.

Условие.

703 Доказать, что функция $y = f(x)$ является периодической с периодом $T$, если:

1) $y = \sin 2x, T = \pi$;

2) $y = \cos \frac{x}{2}, T = 4\pi$;

3) $y = \operatorname{tg} 2x, T = \frac{\pi}{2}$;

4) $y = \sin \frac{4x}{5}, T = \frac{5}{2}\pi$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

Чтобы доказать, что функция $y=f(x)$ является периодической с периодом $T$, нужно показать, что для любого $x$ из области определения функции выполняется равенство $f(x+T) = f(x)$.

1) $y = \sin 2x, T = \pi$

Рассмотрим функцию $f(x) = \sin 2x$. Область определения этой функции — все действительные числа ($x \in \mathbb{R}$).

Проверим выполнение равенства $f(x+T) = f(x)$: $f(x + \pi) = \sin(2(x + \pi)) = \sin(2x + 2\pi)$.

Функция синус является периодической с основным периодом $2\pi$, поэтому для любого угла $\alpha$ справедливо $\sin(\alpha + 2\pi) = \sin \alpha$. В нашем случае $\alpha = 2x$, следовательно: $\sin(2x + 2\pi) = \sin(2x) = f(x)$.

Так как $f(x + \pi) = f(x)$, то функция $y = \sin 2x$ является периодической с периодом $T = \pi$.

Ответ: Что и требовалось доказать.

2) $y = \cos \frac{x}{2}, T = 4\pi$

Рассмотрим функцию $f(x) = \cos \frac{x}{2}$. Область определения — все действительные числа ($x \in \mathbb{R}$).

Проверим выполнение равенства $f(x+T) = f(x)$: $f(x + 4\pi) = \cos\left(\frac{x + 4\pi}{2}\right) = \cos\left(\frac{x}{2} + \frac{4\pi}{2}\right) = \cos\left(\frac{x}{2} + 2\pi\right)$.

Функция косинус является периодической с основным периодом $2\pi$, поэтому для любого угла $\alpha$ справедливо $\cos(\alpha + 2\pi) = \cos \alpha$. В нашем случае $\alpha = \frac{x}{2}$, следовательно: $\cos\left(\frac{x}{2} + 2\pi\right) = \cos\left(\frac{x}{2}\right) = f(x)$.

Так как $f(x + 4\pi) = f(x)$, то функция $y = \cos \frac{x}{2}$ является периодической с периодом $T = 4\pi$.

Ответ: Что и требовалось доказать.

3) $y = \operatorname{tg} 2x, T = \frac{\pi}{2}$

Рассмотрим функцию $f(x) = \operatorname{tg} 2x$. Область определения функции: $2x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k$, то есть $x \neq \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}$, где $k \in \mathbb{Z}$. Если $x$ принадлежит области определения, то и $x+T = x+\frac{\pi}{2}$ также принадлежит ей.

Проверим выполнение равенства $f(x+T) = f(x)$: $f\left(x + \frac{\pi}{2}\right) = \operatorname{tg}\left(2\left(x + \frac{\pi}{2}\right)\right) = \operatorname{tg}(2x + \pi)$.

Функция тангенс является периодической с основным периодом $\pi$, поэтому для любого угла $\alpha$ (из области определения) справедливо $\operatorname{tg}(\alpha + \pi) = \operatorname{tg} \alpha$. В нашем случае $\alpha = 2x$, следовательно: $\operatorname{tg}(2x + \pi) = \operatorname{tg}(2x) = f(x)$.

Так как $f\left(x + \frac{\pi}{2}\right) = f(x)$, то функция $y = \operatorname{tg} 2x$ является периодической с периодом $T = \frac{\pi}{2}$.

Ответ: Что и требовалось доказать.

4) $y = \sin \frac{4x}{5}, T = \frac{5}{2}\pi$

Рассмотрим функцию $f(x) = \sin \frac{4x}{5}$. Область определения — все действительные числа ($x \in \mathbb{R}$).

Проверим выполнение равенства $f(x+T) = f(x)$: $f\left(x + \frac{5}{2}\pi\right) = \sin\left(\frac{4}{5}\left(x + \frac{5}{2}\pi\right)\right) = \sin\left(\frac{4x}{5} + \frac{4}{5} \cdot \frac{5\pi}{2}\right) = \sin\left(\frac{4x}{5} + \frac{20\pi}{10}\right) = \sin\left(\frac{4x}{5} + 2\pi\right)$.

Функция синус является периодической с основным периодом $2\pi$, поэтому для любого угла $\alpha$ справедливо $\sin(\alpha + 2\pi) = \sin \alpha$. В нашем случае $\alpha = \frac{4x}{5}$, следовательно: $\sin\left(\frac{4x}{5} + 2\pi\right) = \sin\left(\frac{4x}{5}\right) = f(x)$.

Так как $f\left(x + \frac{5}{2}\pi\right) = f(x)$, то функция $y = \sin \frac{4x}{5}$ является периодической с периодом $T = \frac{5}{2}\pi$.

Ответ: Что и требовалось доказать.