Номер 700, страница 207 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

§ 39. Чётность, нечётность, периодичность тригонометрических функций. Глава 7. Тригонометрические функции - номер 700, страница 207.

Выяснить, является ли данная функция чётной или нечётной (700—701).

700 1) $y = \cos 3x$;

2) $y = 2 \sin 4x$;

3) $y = \frac{x}{2} \operatorname{tg}^2 x$;

4) $y = x \cos \frac{x}{2}$;

5) $y = x \sin x$;

6) $y = 2 \sin^2 x$.

Для определения чётности или нечётности функции $y(x)$ необходимо проверить выполнение двух условий:

1. Область определения функции $D(y)$ должна быть симметрична относительно нуля (то есть, если $x \in D(y)$, то и $-x \in D(y)$).
2. Должно выполняться одно из равенств:
   • $y(-x) = y(x)$ для всех $x$ из области определения — в этом случае функция является чётной.
   • $y(-x) = -y(x)$ для всех $x$ из области определения — в этом случае функция является нечётной.

Если ни одно из этих равенств не выполняется, функция не является ни чётной, ни нечётной.

1)

Рассмотрим функцию $y(x) = \cos 3x$.
Область определения $D(y) = (-\infty; +\infty)$ симметрична относительно нуля.
Найдем значение функции для аргумента $-x$:
$y(-x) = \cos(3(-x)) = \cos(-3x)$.
Используя свойство чётности косинуса, $\cos(-\alpha) = \cos(\alpha)$, получаем:
$y(-x) = \cos(3x)$.
Так как $y(-x) = y(x)$, функция является чётной.
Ответ: чётная.

2)

Рассмотрим функцию $y(x) = 2 \sin 4x$.
Область определения $D(y) = (-\infty; +\infty)$ симметрична относительно нуля.
Найдем $y(-x)$:
$y(-x) = 2 \sin(4(-x)) = 2 \sin(-4x)$.
Используя свойство нечётности синуса, $\sin(-\alpha) = -\sin(\alpha)$, получаем:
$y(-x) = 2(-\sin(4x)) = -2 \sin(4x) = -y(x)$.
Так как $y(-x) = -y(x)$, функция является нечётной.
Ответ: нечётная.

3)

Рассмотрим функцию $y(x) = \frac{x}{2} \operatorname{tg}^2 x$.
Область определения тангенса — все действительные числа, кроме $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$. Эта область симметрична относительно нуля.
Найдем $y(-x)$:
$y(-x) = \frac{-x}{2} \operatorname{tg}^2(-x) = \frac{-x}{2} (\operatorname{tg}(-x))^2$.
Используя свойство нечётности тангенса, $\operatorname{tg}(-\alpha) = -\operatorname{tg}(\alpha)$, получаем:
$y(-x) = \frac{-x}{2} (-\operatorname{tg} x)^2 = \frac{-x}{2} (\operatorname{tg}^2 x) = -(\frac{x}{2} \operatorname{tg}^2 x) = -y(x)$.
Так как $y(-x) = -y(x)$, функция является нечётной.
Ответ: нечётная.

4)

Рассмотрим функцию $y(x) = x \cos \frac{x}{2}$.
Область определения $D(y) = (-\infty; +\infty)$ симметрична относительно нуля.
Найдем $y(-x)$:
$y(-x) = (-x) \cos(\frac{-x}{2}) = -x \cos(-\frac{x}{2})$.
Используя свойство чётности косинуса, $\cos(-\alpha) = \cos(\alpha)$, получаем:
$y(-x) = -x \cos(\frac{x}{2}) = -y(x)$.
Так как $y(-x) = -y(x)$, функция является нечётной.
Ответ: нечётная.

5)

Рассмотрим функцию $y(x) = x \sin x$.
Область определения $D(y) = (-\infty; +\infty)$ симметрична относительно нуля.
Найдем $y(-x)$:
$y(-x) = (-x) \sin(-x)$.
Используя свойство нечётности синуса, $\sin(-\alpha) = -\sin(\alpha)$, получаем:
$y(-x) = (-x)(-\sin x) = x \sin x = y(x)$.
Так как $y(-x) = y(x)$, функция является чётной.
Ответ: чётная.

6)

Рассмотрим функцию $y(x) = 2 \sin^2 x$.
Область определения $D(y) = (-\infty; +\infty)$ симметрична относительно нуля.
Найдем $y(-x)$:
$y(-x) = 2 \sin^2(-x) = 2(\sin(-x))^2$.
Используя свойство нечётности синуса, $\sin(-\alpha) = -\sin(\alpha)$, получаем:
$y(-x) = 2(-\sin x)^2 = 2(\sin x)^2 = 2 \sin^2 x = y(x)$.
Так как $y(-x) = y(x)$, функция является чётной.
Ответ: чётная.