Номер 706, страница 208 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 7. Тригонометрические функции. Параграф 39. Чётность, нечётность, периодичность тригонометрических функций - номер 706, страница 208.

Условие.

706 1) $y = \sin x + \cos x$;

2) $y = \sin x + \operatorname{tg} x$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

Для решения данной задачи необходимо найти производные заданных функций. Производная функции показывает скорость изменения функции в данной точке. Будем использовать основные правила дифференцирования и таблицу производных элементарных функций.

1) $y = \sin x + \cos x$

Для нахождения производной функции $y = \sin x + \cos x$ мы воспользуемся правилом дифференцирования суммы. Это правило гласит, что производная суммы двух функций равна сумме их производных: $(u+v)' = u' + v'$.

В нашем случае, функция является суммой двух слагаемых: $u(x) = \sin x$ и $v(x) = \cos x$.

Сначала найдем производные каждой из этих функций, обратившись к таблице производных тригонометрических функций:

• Производная функции синус: $(\sin x)' = \cos x$.
• Производная функции косинус: $(\cos x)' = -\sin x$.

Теперь, согласно правилу дифференцирования суммы, сложим полученные производные:

$y' = (\sin x + \cos x)' = (\sin x)' + (\cos x)' = \cos x + (-\sin x) = \cos x - \sin x$.

Ответ: $y' = \cos x - \sin x$

2) $y = \sin x + \operatorname{tg} x$

Для нахождения производной функции $y = \sin x + \operatorname{tg} x$ мы также применяем правило дифференцирования суммы: $(u+v)' = u' + v'$.

Здесь слагаемыми являются функции $u(x) = \sin x$ и $v(x) = \operatorname{tg} x$.

Найдем производные для каждой из них:

• Производная функции синус, как мы уже знаем: $(\sin x)' = \cos x$.
• Производная функции тангенс: $(\operatorname{tg} x)' = \frac{1}{\cos^2 x}$.

Важно отметить, что функция тангенс и ее производная определены не для всех $x$. Область определения - все действительные числа, кроме тех, где $\cos x = 0$, то есть $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n$ - любое целое число.

Теперь сложим найденные производные:

$y' = (\sin x + \operatorname{tg} x)' = (\sin x)' + (\operatorname{tg} x)' = \cos x + \frac{1}{\cos^2 x}$.

Ответ: $y' = \cos x + \frac{1}{\cos^2 x}$