Номер 711, страница 212 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 7. Тригонометрические функции. Параграф 40. Свойства функции y=cos x и её график - номер 711, страница 212.

Условие.

711 Используя свойство возрастания или убывания функции $y = \cos x$, сравнить числа:

1) $\cos \frac{\pi}{7}$ и $\cos \frac{8\pi}{9}$;

2) $\cos \frac{8\pi}{7}$ и $\cos \frac{10\pi}{7}$;

3) $\cos \left(-\frac{6\pi}{7}\right)$ и $\cos \left(-\frac{\pi}{8}\right)$;

4) $\cos \left(-\frac{8\pi}{7}\right)$ и $\cos \left(-\frac{9\pi}{7}\right)$;

5) $\cos 1$ и $\cos 3$;

6) $\cos 4$ и $\cos 5$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

Для решения данной задачи используется свойство монотонности (возрастания или убывания) функции $y = \cos x$, а также её четность.

• Функция $y = \cos x$ является четной: $\cos(-x) = \cos(x)$.
• На промежутке $[0; \pi]$ функция $y = \cos x$ убывает. Это значит, что если $0 \le x_1 < x_2 \le \pi$, то $\cos x_1 > \cos x_2$.
• На промежутке $[\pi; 2\pi]$ функция $y = \cos x$ возрастает. Это значит, что если $\pi \le x_1 < x_2 \le 2\pi$, то $\cos x_1 < \cos x_2$.

1) Аргументы $\frac{\pi}{7}$ и $\frac{8\pi}{9}$ принадлежат промежутку $[0; \pi]$, на котором функция $y = \cos x$ является убывающей. Сравним аргументы: $\frac{\pi}{7} = \frac{9\pi}{63}$ и $\frac{8\pi}{9} = \frac{56\pi}{63}$. Так как $\frac{9\pi}{63} < \frac{56\pi}{63}$, то $\frac{\pi}{7} < \frac{8\pi}{9}$. В силу убывания функции на данном промежутке, большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции, следовательно, $\cos \frac{\pi}{7} > \cos \frac{8\pi}{9}$.
Ответ: $\cos \frac{\pi}{7} > \cos \frac{8\pi}{9}$.

2) Аргументы $\frac{8\pi}{7}$ и $\frac{10\pi}{7}$ принадлежат промежутку $[\pi; 2\pi]$, на котором функция $y = \cos x$ является возрастающей. Поскольку $\frac{8\pi}{7} < \frac{10\pi}{7}$, а функция на этом промежутке возрастает, то $\cos \frac{8\pi}{7} < \cos \frac{10\pi}{7}$.
Ответ: $\cos \frac{8\pi}{7} < \cos \frac{10\pi}{7}$.

3) Используем свойство четности функции косинуса: $\cos\left(-\frac{6\pi}{7}\right) = \cos\left(\frac{6\pi}{7}\right)$ и $\cos\left(-\frac{\pi}{8}\right) = \cos\left(\frac{\pi}{8}\right)$. Теперь сравним значения для положительных аргументов. Оба аргумента, $\frac{6\pi}{7}$ и $\frac{\pi}{8}$, принадлежат промежутку $[0; \pi]$, где косинус убывает. Сравним аргументы: $\frac{\pi}{8} < \frac{6\pi}{7}$ (поскольку $1 \cdot 7 < 8 \cdot 6$, то есть $7 < 48$). Так как функция убывает, $\cos \frac{\pi}{8} > \cos \frac{6\pi}{7}$. Следовательно, $\cos\left(-\frac{\pi}{8}\right) > \cos\left(-\frac{6\pi}{7}\right)$.
Ответ: $\cos\left(-\frac{6\pi}{7}\right) < \cos\left(-\frac{\pi}{8}\right)$.

4) Используем свойство четности: $\cos\left(-\frac{8\pi}{7}\right) = \cos\left(\frac{8\pi}{7}\right)$ и $\cos\left(-\frac{9\pi}{7}\right) = \cos\left(\frac{9\pi}{7}\right)$. Аргументы $\frac{8\pi}{7}$ и $\frac{9\pi}{7}$ принадлежат промежутку $[\pi; 2\pi]$, где косинус возрастает. Так как $\frac{8\pi}{7} < \frac{9\pi}{7}$, то и значения функции находятся в том же соотношении: $\cos \frac{8\pi}{7} < \cos \frac{9\pi}{7}$. Следовательно, $\cos\left(-\frac{8\pi}{7}\right) < \cos\left(-\frac{9\pi}{7}\right)$.
Ответ: $\cos\left(-\frac{8\pi}{7}\right) < \cos\left(-\frac{9\pi}{7}\right)$.

5) Аргументы 1 и 3 (в радианах) принадлежат промежутку $[0; \pi]$, так как $\pi \approx 3.14$. На этом промежутке косинус убывает. Поскольку $1 < 3$, то $\cos 1 > \cos 3$.
Ответ: $\cos 1 > \cos 3$.

6) Аргументы 4 и 5 (в радианах) принадлежат промежутку $[\pi; 2\pi]$, так как $\pi \approx 3.14$ и $2\pi \approx 6.28$. На этом промежутке косинус возрастает. Поскольку $4 < 5$, то $\cos 4 < \cos 5$.
Ответ: $\cos 4 < \cos 5$.