Номер 709, страница 211 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 7. Тригонометрические функции. Параграф 40. Свойства функции y=cos x и её график - номер 709, страница 211.

Условие.

709 (Устно.) Выяснить, возрастает или убывает функция $y = \cos x$ на отрезке:

1) $[3\pi; 4\pi];$

2) $[-2\pi; -\pi];$

3) $[2\pi; \frac{5\pi}{2}];$

4) $[-\frac{\pi}{2}; 0];$

5) $[1; 3];$

6) $[-2; -1].$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 7.

Решение 8.

Для того чтобы выяснить, возрастает или убывает функция $y = \cos x$ на заданном отрезке, мы можем проанализировать знак ее производной или вспомнить свойства функции косинуса на единичной окружности. Производная функции косинуса: $y' = (\cos x)' = -\sin x$.

• Функция возрастает, когда ее производная $y' > 0$, то есть $-\sin x > 0$, что равносильно $\sin x < 0$. Это происходит, когда аргумент $x$ находится в III и IV координатных четвертях (интервалы вида $(\pi + 2\pi n, 2\pi + 2\pi n)$, где $n \in \mathbb{Z}$).
• Функция убывает, когда ее производная $y' < 0$, то есть $-\sin x < 0$, что равносильно $\sin x > 0$. Это происходит, когда аргумент $x$ находится в I и II координатных четвертях (интервалы вида $(2\pi n, \pi + 2\pi n)$, где $n \in \mathbb{Z}$).

Рассмотрим каждый из предложенных отрезков.

1) $[3\pi; 4\pi]$

Чтобы определить поведение функции, можно использовать ее периодичность. Период функции $\cos x$ равен $2\pi$. Вычтем $2\pi$ из границ отрезка: $[3\pi - 2\pi; 4\pi - 2\pi] = [\pi; 2\pi]$. Этот отрезок соответствует III и IV координатным четвертям, где $\sin x \le 0$. Следовательно, производная $y' = -\sin x \ge 0$. Таким образом, на отрезке $[3\pi; 4\pi]$ функция возрастает.

Ответ: возрастает.

2) $[-2\pi; -\pi]$

Прибавим $2\pi$ к границам отрезка, чтобы перейти к основному промежутку: $[-2\pi + 2\pi; -\pi + 2\pi] = [0; \pi]$. Этот отрезок соответствует I и II координатным четвертям, где $\sin x \ge 0$. Следовательно, производная $y' = -\sin x \le 0$. Таким образом, на отрезке $[-2\pi; -\pi]$ функция убывает.

Ответ: убывает.

3) $[2\pi; \frac{5\pi}{2}]$

Вычтем $2\pi$ из границ отрезка: $[2\pi - 2\pi; \frac{5\pi}{2} - 2\pi] = [0; \frac{\pi}{2}]$. Этот отрезок соответствует I координатной четверти, где $\sin x \ge 0$. Следовательно, производная $y' = -\sin x \le 0$. Таким образом, на отрезке $[2\pi; \frac{5\pi}{2}]$ функция убывает.

Ответ: убывает.

4) $[-\frac{\pi}{2}; 0]$

Этот отрезок соответствует IV координатной четверти. На этом промежутке $\sin x \le 0$. Следовательно, производная $y' = -\sin x \ge 0$. Таким образом, на отрезке $[-\frac{\pi}{2}; 0]$ функция возрастает.

Ответ: возрастает.

5) $[1; 3]$

Для анализа этого отрезка воспользуемся приближенным значением числа $\pi \approx 3.14159$. Отрезок $[1; 3]$ целиком содержится в отрезке $[0; \pi]$, так как $0 < 1$ и $3 < \pi$. На отрезке $[0; \pi]$ функция $\cos x$ убывает (так как на этом промежутке $\sin x \ge 0$, а значит $y' = -\sin x \le 0$). Следовательно, на его части, отрезке $[1; 3]$, функция также убывает.

Ответ: убывает.

6) $[-2; -1]$

Воспользуемся приближенным значением $\pi \approx 3.14159$. Отрезок $[-2; -1]$ целиком содержится в отрезке $[-\pi; 0]$, так как $-\pi < -2$ и $-1 < 0$. На отрезке $[-\pi; 0]$ функция $\cos x$ возрастает (так как на этом промежутке $\sin x \le 0$, а значит $y' = -\sin x \ge 0$). Следовательно, на его части, отрезке $[-2; -1]$, функция также возрастает.

Ответ: возрастает.