Номер 710, страница 211 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 7. Тригонометрические функции. Параграф 40. Свойства функции y=cos x и её график - номер 710, страница 211.

Условие.

710 Разбить данный отрезок на два отрезка так, чтобы на одном из них функция $y = \cos x$ возрастала, а на другом убывала:

1) $\left[\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2}\right]$;

2) $\left[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right]$;

3) $\left[0; \frac{3\pi}{2}\right]$;

4) $\left[-\pi; \frac{\pi}{2}\right]$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

Для того чтобы разбить данный отрезок на два отрезка так, чтобы на одном из них функция $y = \cos x$ возрастала, а на другом убывала, нам нужно найти точки экстремума функции. Эти точки являются границами интервалов монотонности.

1. Найдем производную функции $y = \cos x$:
$y' = (\cos x)' = -\sin x$.

2. Найдем критические точки, приравняв производную к нулю:
$-\sin x = 0$
$\sin x = 0$
$x = k\pi$, где $k$ — любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$).
В этих точках функция меняет направление монотонности.

3. Определим интервалы возрастания и убывания:
- Функция $y = \cos x$ возрастает, когда ее производная $y' = -\sin x > 0$, что эквивалентно $\sin x < 0$. Это происходит на интервалах вида $(\pi + 2\pi k, 2\pi + 2\pi k)$. Например, на интервале $(-\pi, 0)$. - Функция $y = \cos x$ убывает, когда ее производная $y' = -\sin x < 0$, что эквивалентно $\sin x > 0$. Это происходит на интервалах вида $(2\pi k, \pi + 2\pi k)$. Например, на интервале $(0, \pi)$.

Теперь применим эти знания к каждому из заданных отрезков.

1) $[\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}]$

Ищем критическую точку вида $x = k\pi$ внутри отрезка $[\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}]$. При $k=1$, точка $x = \pi$ принадлежит данному отрезку, так как $\frac{\pi}{2} \le \pi \le \frac{3\pi}{2}$. Эта точка разбивает исходный отрезок на два: $[\frac{\pi}{2}, \pi]$ и $[\pi, \frac{3\pi}{2}]$. - На отрезке $[\frac{\pi}{2}, \pi]$ (часть интервала $(0, \pi)$) функция $y = \cos x$ убывает. - На отрезке $[\pi, \frac{3\pi}{2}]$ (часть интервала $(\pi, 2\pi)$) функция $y = \cos x$ возрастает.
Ответ: Отрезок $[\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}]$ можно разбить на два отрезка: $[\frac{\pi}{2}, \pi]$, на котором функция $y=\cos x$ убывает, и $[\pi, \frac{3\pi}{2}]$, на котором функция возрастает.

2) $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$

Ищем критическую точку вида $x = k\pi$ внутри отрезка $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$. При $k=0$, точка $x = 0$ принадлежит данному отрезку, так как $-\frac{\pi}{2} \le 0 \le \frac{\pi}{2}$. Эта точка разбивает исходный отрезок на два: $[-\frac{\pi}{2}, 0]$ и $[0, \frac{\pi}{2}]$. - На отрезке $[-\frac{\pi}{2}, 0]$ (часть интервала $(-\pi, 0)$) функция $y = \cos x$ возрастает. - На отрезке $[0, \frac{\pi}{2}]$ (часть интервала $(0, \pi)$) функция $y = \cos x$ убывает.
Ответ: Отрезок $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ можно разбить на два отрезка: $[-\frac{\pi}{2}, 0]$, на котором функция $y=\cos x$ возрастает, и $[0, \frac{\pi}{2}]$, на котором функция убывает.

3) $[0, \frac{3\pi}{2}]$

Ищем критическую точку вида $x = k\pi$ внутри отрезка $[0, \frac{3\pi}{2}]$. При $k=1$, точка $x = \pi$ принадлежит данному отрезку, так как $0 \le \pi \le \frac{3\pi}{2}$. (Точка $x=0$ является концом отрезка и не может его разделить). Эта точка разбивает исходный отрезок на два: $[0, \pi]$ и $[\pi, \frac{3\pi}{2}]$. - На отрезке $[0, \pi]$ функция $y = \cos x$ убывает. - На отрезке $[\pi, \frac{3\pi}{2}]$ (часть интервала $(\pi, 2\pi)$) функция $y = \cos x$ возрастает.
Ответ: Отрезок $[0, \frac{3\pi}{2}]$ можно разбить на два отрезка: $[0, \pi]$, на котором функция $y=\cos x$ убывает, и $[\pi, \frac{3\pi}{2}]$, на котором функция возрастает.

4) $[-\pi, \frac{\pi}{2}]$

Ищем критическую точку вида $x = k\pi$ внутри отрезка $[-\pi, \frac{\pi}{2}]$. При $k=0$, точка $x = 0$ принадлежит данному отрезку, так как $-\pi \le 0 \le \frac{\pi}{2}$. (Точка $x=-\pi$ является концом отрезка и не может его разделить). Эта точка разбивает исходный отрезок на два: $[-\pi, 0]$ и $[0, \frac{\pi}{2}]$. - На отрезке $[-\pi, 0]$ функция $y = \cos x$ возрастает. - На отрезке $[0, \frac{\pi}{2}]$ (часть интервала $(0, \pi)$) функция $y = \cos x$ убывает.
Ответ: Отрезок $[-\pi, \frac{\pi}{2}]$ можно разбить на два отрезка: $[-\pi, 0]$, на котором функция $y=\cos x$ возрастает, и $[0, \frac{\pi}{2}]$, на котором функция убывает.