Номер 713, страница 212 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 7. Тригонометрические функции. Параграф 40. Свойства функции y=cos x и её график - номер 713, страница 212.

Условие.

713 Найти все решения неравенства, принадлежащие отрезку $[0; 3\pi]$:

1) $cos x \ge \frac{1}{2}$;

2) $cos x \ge -\frac{1}{2}$;

3) $cos x < -\frac{\sqrt{2}}{2}$;

4) $cos x < \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

1) Требуется найти все решения неравенства $ \cos x \ge \frac{1}{2} $, принадлежащие отрезку $ [0; 3\pi] $.
Сначала найдем общее решение неравенства. Соответствующее уравнение $ \cos x = \frac{1}{2} $ имеет решения $ x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $.
С помощью единичной окружности определяем, что неравенству $ \cos x \ge \frac{1}{2} $ удовлетворяют значения $ x $, для которых выполняется условие $ -\frac{\pi}{3} + 2\pi n \le x \le \frac{\pi}{3} + 2\pi n $, $ n \in \mathbb{Z} $.
Теперь выберем решения, принадлежащие отрезку $ [0; 3\pi] $:
- При $ n = 0 $: получаем отрезок $ [-\frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{3}] $. Пересечение с отрезком $ [0; 3\pi] $ дает $ [0, \frac{\pi}{3}] $.
- При $ n = 1 $: получаем отрезок $ [-\frac{\pi}{3} + 2\pi, \frac{\pi}{3} + 2\pi] $, что равно $ [\frac{5\pi}{3}, \frac{7\pi}{3}] $. Этот отрезок полностью содержится в $ [0; 3\pi] $, так как $ 3\pi = \frac{9\pi}{3} $.
- При $ n = 2 $: получаем отрезок $ [-\frac{\pi}{3} + 4\pi, \frac{\pi}{3} + 4\pi] = [\frac{11\pi}{3}, \frac{13\pi}{3}] $, который находится правее $ 3\pi $.
Объединяя найденные промежутки, получаем решение.
Ответ: $ x \in [0, \frac{\pi}{3}] \cup [\frac{5\pi}{3}, \frac{7\pi}{3}] $.

2) Требуется найти все решения неравенства $ \cos x \ge -\frac{1}{2} $, принадлежащие отрезку $ [0; 3\pi] $.
Общее решение неравенства. Уравнение $ \cos x = -\frac{1}{2} $ имеет решения $ x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $.
Неравенству $ \cos x \ge -\frac{1}{2} $ соответствуют значения $ x $, удовлетворяющие условию $ -\frac{2\pi}{3} + 2\pi n \le x \le \frac{2\pi}{3} + 2\pi n $, $ n \in \mathbb{Z} $.
Выберем решения из отрезка $ [0; 3\pi] $:
- При $ n = 0 $: получаем отрезок $ [-\frac{2\pi}{3}, \frac{2\pi}{3}] $. Пересечение с отрезком $ [0; 3\pi] $ дает $ [0, \frac{2\pi}{3}] $.
- При $ n = 1 $: получаем отрезок $ [-\frac{2\pi}{3} + 2\pi, \frac{2\pi}{3} + 2\pi] = [\frac{4\pi}{3}, \frac{8\pi}{3}] $. Этот отрезок полностью содержится в $ [0; 3\pi] $, так как $ 3\pi = \frac{9\pi}{3} $.
- При $ n = 2 $: получаем отрезок $ [-\frac{2\pi}{3} + 4\pi, \frac{2\pi}{3} + 4\pi] = [\frac{10\pi}{3}, \frac{14\pi}{3}] $, который находится правее $ 3\pi $.
Объединяя найденные промежутки, получаем решение.
Ответ: $ x \in [0, \frac{2\pi}{3}] \cup [\frac{4\pi}{3}, \frac{8\pi}{3}] $.

3) Требуется найти все решения неравенства $ \cos x < -\frac{\sqrt{2}}{2} $, принадлежащие отрезку $ [0; 3\pi] $.
Общее решение неравенства. Уравнение $ \cos x = -\frac{\sqrt{2}}{2} $ имеет решения $ x = \pm \frac{3\pi}{4} + 2\pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $.
Неравенству $ \cos x < -\frac{\sqrt{2}}{2} $ соответствуют значения $ x $, удовлетворяющие условию $ \frac{3\pi}{4} + 2\pi n < x < \frac{5\pi}{4} + 2\pi n $, $ n \in \mathbb{Z} $.
Выберем решения из отрезка $ [0; 3\pi] $:
- При $ n = 0 $: получаем интервал $ (\frac{3\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}) $. Он полностью содержится в $ [0; 3\pi] $.
- При $ n = 1 $: получаем интервал $ (\frac{3\pi}{4} + 2\pi, \frac{5\pi}{4} + 2\pi) = (\frac{11\pi}{4}, \frac{13\pi}{4}) $. Пересечение этого интервала с $ [0; 3\pi] $ (учитывая, что $ 3\pi = \frac{12\pi}{4} $) дает промежуток $ (\frac{11\pi}{4}, 3\pi] $. Конец отрезка $ 3\pi $ включается, так как $ \cos(3\pi)=-1 < -\frac{\sqrt{2}}{2} $.
- При $ n = 2 $ интервал начинается с $ \frac{19\pi}{4} $, что больше $ 3\pi $.
Объединяя найденные промежутки, получаем решение.
Ответ: $ x \in (\frac{3\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}) \cup (\frac{11\pi}{4}, 3\pi] $.

4) Требуется найти все решения неравенства $ \cos x < \frac{\sqrt{3}}{2} $, принадлежащие отрезку $ [0; 3\pi] $.
Общее решение неравенства. Уравнение $ \cos x = \frac{\sqrt{3}}{2} $ имеет решения $ x = \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $.
Неравенству $ \cos x < \frac{\sqrt{3}}{2} $ соответствуют значения $ x $, удовлетворяющие условию $ \frac{\pi}{6} + 2\pi n < x < \frac{11\pi}{6} + 2\pi n $, $ n \in \mathbb{Z} $.
Выберем решения из отрезка $ [0; 3\pi] $:
- При $ n = 0 $: получаем интервал $ (\frac{\pi}{6}, \frac{11\pi}{6}) $. Он полностью содержится в $ [0; 3\pi] $.
- При $ n = 1 $: получаем интервал $ (\frac{\pi}{6} + 2\pi, \frac{11\pi}{6} + 2\pi) = (\frac{13\pi}{6}, \frac{23\pi}{6}) $. Пересечение этого интервала с $ [0; 3\pi] $ (учитывая, что $ 3\pi = \frac{18\pi}{6} $) дает промежуток $ (\frac{13\pi}{6}, 3\pi] $. Конец отрезка $ 3\pi $ включается, так как $ \cos(3\pi)=-1 < \frac{\sqrt{3}}{2} $.
- При $ n = 2 $ интервал начинается за пределами отрезка $ [0; 3\pi] $.
Объединяя найденные промежутки, получаем решение.
Ответ: $ x \in (\frac{\pi}{6}, \frac{11\pi}{6}) \cup (\frac{13\pi}{6}, 3\pi] $.