Номер 719, страница 212 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 7. Тригонометрические функции. Параграф 40. Свойства функции y=cos x и её график - номер 719, страница 212.

Условие.

719 Построить график функции:

1) $y = |\cos x|;$

2) $y = 3 - 2 \cos (x - 1).$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

1) $y = |\cos x|$

Построение графика функции $y = |\cos x|$ выполняется в два основных этапа, отталкиваясь от графика базовой функции $y = \cos x$.

1. Сначала необходимо построить график функции $y = \cos x$. Это хорошо известная периодическая кривая (косинусоида). Её основные свойства: период $T = 2\pi$, амплитуда равна 1, область значений функции — отрезок $[-1, 1]$. График проходит через ключевые точки, такие как $(0, 1)$, $(\frac{\pi}{2}, 0)$, $(\pi, -1)$, $(\frac{3\pi}{2}, 0)$, $(2\pi, 1)$.

2. Далее к графику $y = \cos x$ применяется преобразование "модуль функции", то есть $y = |f(x)|$. Согласно правилу этого преобразования, та часть графика, которая расположена выше или на оси абсцисс (где $y \ge 0$), остается неизменной. Та часть графика, которая находится ниже оси абсцисс (где $y < 0$), должна быть симметрично отражена относительно оси абсцисс ($Ox$) в верхнюю полуплоскость.

Для функции $y = |\cos x|$ это означает следующее:

• Участки графика $y = \cos x$, где функция неотрицательна (например, на интервале $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$), остаются без изменений.

• Участки графика $y = \cos x$, где функция отрицательна (например, на интервале $(\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2})$), симметрично отражаются относительно оси $Ox$. В результате этого отражения, например, точка минимума $(\pi, -1)$ переходит в точку максимума $(\pi, 1)$.

Итоговый график функции $y = |\cos x|$ будет полностью расположен в верхней полуплоскости ($y \ge 0$). Он будет состоять из повторяющихся "арок". Важно отметить, что период функции изменится: из-за отражения отрицательной "полуволны" период функции $y=|\cos x|$ становится равным $\pi$. Область значений функции — отрезок $[0, 1]$.

Ответ: График функции $y = |\cos x|$ получают из графика функции $y = \cos x$ путем симметричного отражения всех его частей, лежащих ниже оси $Ox$, относительно этой оси. Части графика, лежащие выше или на оси $Ox$, остаются на своих местах.

2) $y = 3 - 2 \cos (x - 1)$

Для построения графика этой функции удобно применить последовательность геометрических преобразований к графику базовой функции $y = \cos x$. Для удобства перепишем функцию в виде $y = -2 \cos(x - 1) + 3$.

1. Базовый график: $y = \cos x$. Начинаем с построения стандартной косинусоиды.

2. Горизонтальный сдвиг (сдвиг по фазе): $y = \cos(x - 1)$. Аргумент $(x-1)$ означает, что график функции $y = \cos x$ необходимо сдвинуть вдоль оси $Ox$ на 1 единицу вправо. Теперь максимум функции, который был в точке $x=0$, будет находиться в точке $x=1$.

3. Вертикальное растяжение и отражение: $y = -2 \cos(x - 1)$.
   Это преобразование состоит из двух частей. Сначала умножение на 2 растягивает график $y = \cos(x-1)$ в 2 раза по вертикали от оси $Ox$. Амплитуда колебаний увеличивается до 2, а область значений становится $[-2, 2]$.
   Затем знак "минус" отражает полученный график симметрично относительно оси $Ox$. Максимумы становятся минимумами, и наоборот. Так, точка $(1, 2)$ превращается в точку $(1, -2)$.

4. Вертикальный сдвиг: $y = -2 \cos(x - 1) + 3$. На последнем шаге весь график, полученный ранее, сдвигается на 3 единицы вверх вдоль оси $Oy$.

Свойства итогового графика функции $y = 3 - 2 \cos (x - 1)$:

• Период остался таким же, как у $y = \cos x$, и равен $T = 2\pi$.

• Амплитуда колебаний равна 2.

• Колебания происходят вокруг горизонтальной линии $y=3$ (этот уровень определяется вертикальным сдвигом).

• Область значений: так как колебания с амплитудой 2 происходят вокруг линии $y=3$, то минимальное значение функции равно $3 - 2 = 1$, а максимальное $3 + 2 = 5$. Область значений: $[1, 5]$.

• Ключевые точки:
  - Минимумы $y=1$ достигаются, когда $\cos(x-1)=1$, то есть при $x-1 = 2k\pi \implies x = 1 + 2k\pi$ (где $k$ - целое число).
  - Максимумы $y=5$ достигаются, когда $\cos(x-1)=-1$, то есть при $x-1 = \pi + 2k\pi \implies x = 1 + \pi + 2k\pi$.

Ответ: График функции $y = 3 - 2 \cos (x - 1)$ строится из графика $y = \cos x$ с помощью следующих последовательных преобразований: сдвиг вправо на 1 единицу, растяжение по вертикали в 2 раза, отражение относительно оси абсцисс и, наконец, сдвиг вверх на 3 единицы.