Номер 726, страница 216 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 7. Тригонометрические функции. Параграф 41. Свойства функции y=sin x и её график - номер 726, страница 216.

Условие.

726 Выразив косинус через синус по формулам приведения, сравнить числа:

1) $\sin \frac{\pi}{9}$ и $\cos \frac{\pi}{9}$;

2) $\sin \frac{9\pi}{8}$ и $\cos \frac{9\pi}{8}$;

3) $\sin \frac{\pi}{5}$ и $\cos \frac{5\pi}{14}$;

4) $\sin \frac{\pi}{8}$ и $\cos \frac{3\pi}{10}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

1)

Сравним числа $\sin\frac{\pi}{9}$ и $\cos\frac{\pi}{9}$.
Согласно заданию, выразим косинус через синус, используя формулу приведения $\cos\alpha = \sin(\frac{\pi}{2} - \alpha)$.
$\cos\frac{\pi}{9} = \sin(\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{9}) = \sin(\frac{9\pi - 2\pi}{18}) = \sin\frac{7\pi}{18}$.
Теперь необходимо сравнить $\sin\frac{\pi}{9}$ и $\sin\frac{7\pi}{18}$.
Для удобства приведем аргументы к общему знаменателю: $\frac{\pi}{9} = \frac{2\pi}{18}$.
Оба угла, $\frac{2\pi}{18}$ и $\frac{7\pi}{18}$, находятся в первой четверти, то есть в интервале $(0, \frac{\pi}{2})$. На этом интервале функция $y = \sin(x)$ является возрастающей. Это значит, что большему значению аргумента соответствует большее значение функции.
Сравним аргументы: $\frac{2\pi}{18} < \frac{7\pi}{18}$.
Следовательно, $\sin\frac{2\pi}{18} < \sin\frac{7\pi}{18}$, что означает $\sin\frac{\pi}{9} < \sin\frac{7\pi}{18}$.
Таким образом, $\sin\frac{\pi}{9} < \cos\frac{\pi}{9}$.

Ответ: $\sin\frac{\pi}{9} < \cos\frac{\pi}{9}$.

2)

Сравним числа $\sin\frac{9\pi}{8}$ и $\cos\frac{9\pi}{8}$.
Выразим косинус через синус по формуле приведения: $\cos\alpha = \sin(\frac{\pi}{2} - \alpha)$.
$\cos\frac{9\pi}{8} = \sin(\frac{\pi}{2} - \frac{9\pi}{8}) = \sin(\frac{4\pi - 9\pi}{8}) = \sin(-\frac{5\pi}{8})$.
Так как синус — нечетная функция, $\sin(-x) = -\sin(x)$, то $\sin(-\frac{5\pi}{8}) = -\sin\frac{5\pi}{8}$.
Теперь задача сводится к сравнению $\sin\frac{9\pi}{8}$ и $-\sin\frac{5\pi}{8}$.
Преобразуем $\sin\frac{9\pi}{8}$ с помощью формулы приведения: $\sin\frac{9\pi}{8} = \sin(\pi + \frac{\pi}{8}) = -\sin\frac{\pi}{8}$.
Сравним $-\sin\frac{\pi}{8}$ и $-\sin\frac{5\pi}{8}$. Это эквивалентно сравнению $\sin\frac{\pi}{8}$ и $\sin\frac{5\pi}{8}$ с последующей сменой знака неравенства.
Углы $\frac{\pi}{8}$ и $\frac{5\pi}{8}$ находятся в интервале $(0, \pi)$. Функция $y = \sin(x)$ положительна на этом интервале.
Преобразуем $\sin\frac{5\pi}{8}$ для удобства сравнения: $\sin\frac{5\pi}{8} = \sin(\pi - \frac{3\pi}{8}) = \sin\frac{3\pi}{8}$.
Теперь сравним $\sin\frac{\pi}{8}$ и $\sin\frac{3\pi}{8}$. Оба угла лежат в первой четверти $(0, \frac{\pi}{2})$, где синус возрастает.
Так как $\frac{\pi}{8} < \frac{3\pi}{8}$, то $\sin\frac{\pi}{8} < \sin\frac{3\pi}{8}$.
Значит, $\sin\frac{\pi}{8} < \sin\frac{5\pi}{8}$.
Умножая обе части неравенства на -1, меняем знак: $-\sin\frac{\pi}{8} > -\sin\frac{5\pi}{8}$.
Следовательно, $\sin\frac{9\pi}{8} > \cos\frac{9\pi}{8}$.

Ответ: $\sin\frac{9\pi}{8} > \cos\frac{9\pi}{8}$.

3)

Сравним числа $\sin\frac{\pi}{5}$ и $\cos\frac{5\pi}{14}$.
Выразим косинус через синус: $\cos\alpha = \sin(\frac{\pi}{2} - \alpha)$.
$\cos\frac{5\pi}{14} = \sin(\frac{\pi}{2} - \frac{5\pi}{14}) = \sin(\frac{7\pi - 5\pi}{14}) = \sin\frac{2\pi}{14} = \sin\frac{\pi}{7}$.
Теперь сравним $\sin\frac{\pi}{5}$ и $\sin\frac{\pi}{7}$.
Оба угла $\frac{\pi}{5}$ и $\frac{\pi}{7}$ находятся в первой четверти $(0, \frac{\pi}{2})$, где функция $y = \sin(x)$ возрастает.
Сравним аргументы. Так как $5 < 7$, то $\frac{1}{5} > \frac{1}{7}$, а значит $\frac{\pi}{5} > \frac{\pi}{7}$.
Поскольку функция синуса возрастает, большему аргументу соответствует большее значение функции.
Таким образом, $\sin\frac{\pi}{5} > \sin\frac{\pi}{7}$.
Следовательно, $\sin\frac{\pi}{5} > \cos\frac{5\pi}{14}$.

Ответ: $\sin\frac{\pi}{5} > \cos\frac{5\pi}{14}$.

4)

Сравним числа $\sin\frac{\pi}{8}$ и $\cos\frac{3\pi}{10}$.
Выразим косинус через синус: $\cos\alpha = \sin(\frac{\pi}{2} - \alpha)$.
$\cos\frac{3\pi}{10} = \sin(\frac{\pi}{2} - \frac{3\pi}{10}) = \sin(\frac{5\pi - 3\pi}{10}) = \sin\frac{2\pi}{10} = \sin\frac{\pi}{5}$.
Теперь сравним $\sin\frac{\pi}{8}$ и $\sin\frac{\pi}{5}$.
Оба угла $\frac{\pi}{8}$ и $\frac{\pi}{5}$ находятся в первой четверти $(0, \frac{\pi}{2})$, где функция $y = \sin(x)$ возрастает.
Сравним аргументы. Так как $8 > 5$, то $\frac{1}{8} < \frac{1}{5}$, а значит $\frac{\pi}{8} < \frac{\pi}{5}$.
Поскольку функция синуса возрастает, меньшему аргументу соответствует меньшее значение функции.
Таким образом, $\sin\frac{\pi}{8} < \sin\frac{\pi}{5}$.
Следовательно, $\sin\frac{\pi}{8} < \cos\frac{3\pi}{10}$.

Ответ: $\sin\frac{\pi}{8} < \cos\frac{3\pi}{10}$.