Номер 733, страница 221 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 7. Тригонометрические функции. Параграф 42. Свойства функции y=tg x и её график - номер 733, страница 221.

Условие.

733 (Устно.) Выяснить, при каких значениях $x$ из промежутка $[-\pi; 2\pi]$ функция $y = \operatorname{tg} x$ принимает:

1) значение, равное 0;

2) положительные значения;

3) отрицательные значения.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 7.

Решение 8.

Для решения задачи проанализируем поведение функции $y = \text{tg } x$ на заданном промежутке $[-π; 2π]$. Функция тангенса определяется как отношение синуса к косинусу: $\text{tg } x = \frac{\sin x}{\cos x}$. Период функции тангенса равен $π$. Вертикальные асимптоты функции (где она не определена) находятся в точках, где $\cos x = 0$, то есть при $x = \frac{π}{2} + kπ$, где $k$ - целое число. На промежутке $[-π; 2π]$ это точки: $x = -\frac{π}{2}$, $x = \frac{π}{2}$, $x = \frac{3π}{2}$.

1) значение, равное 0

Функция $y = \text{tg } x$ равна нулю, когда ее числитель $\sin x$ равен нулю. Общее решение уравнения $\sin x = 0$ имеет вид $x = kπ$, где $k$ - любое целое число. Выберем значения $x$, принадлежащие промежутку $[-π; 2π]$:

• при $k = -1$, $x = -π$;
• при $k = 0$, $x = 0$;
• при $k = 1$, $x = π$;
• при $k = 2$, $x = 2π$.

Все эти значения входят в заданный промежуток.

Ответ: $x = -π; 0; π; 2π$.

2) положительные значения

Функция $y = \text{tg } x$ принимает положительные значения ($\text{tg } x > 0$), когда $\sin x$ и $\cos x$ имеют одинаковые знаки. Это соответствует I и III координатным четвертям на единичной окружности. Общее решение неравенства $\text{tg } x > 0$ — это интервалы вида $(kπ; \frac{π}{2} + kπ)$, где $k$ - целое число. Найдем интервалы, попадающие в промежуток $[-π; 2π]$:

• при $k = -1$: $(-π; -\frac{π}{2})$;
• при $k = 0$: $(0; \frac{π}{2})$;
• при $k = 1$: $(π; \frac{3π}{2})$.

Объединение этих интервалов и является решением.

Ответ: $x \in (-π; -\frac{π}{2}) \cup (0; \frac{π}{2}) \cup (π; \frac{3π}{2})$.

3) отрицательные значения

Функция $y = \text{tg } x$ принимает отрицательные значения ($\text{tg } x < 0$), когда $\sin x$ и $\cos x$ имеют разные знаки. Это соответствует II и IV координатным четвертям на единичной окружности. Общее решение неравенства $\text{tg } x < 0$ — это интервалы вида $(\frac{π}{2} + kπ; π + kπ)$, где $k$ - целое число. Найдем интервалы, попадающие в промежуток $[-π; 2π]$:

• при $k = -1$: $(-\frac{π}{2}; 0)$;
• при $k = 0$: $(\frac{π}{2}; π)$;
• при $k = 1$: $(\frac{3π}{2}; 2π)$.

Объединение этих интервалов и является решением.

Ответ: $x \in (-\frac{π}{2}; 0) \cup (\frac{π}{2}; π) \cup (\frac{3π}{2}; 2π)$.