Номер 738, страница 222 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 7. Тригонометрические функции. Параграф 42. Свойства функции y=tg x и её график - номер 738, страница 222.

Условие.

738 Решить неравенство:

1) $tg x < 1$;

2) $tg x \ge \sqrt{3}$;

3) $tg x \le -\frac{\sqrt{3}}{3}$;

4) $tg x > -1$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

1) Решим неравенство $tg \ x < 1$.
Для начала найдем значение $x$, для которого $tg \ x = 1$. Основное значение, лежащее в интервале $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$, равно $x = arctg(1) = \frac{\pi}{4}$.
Функция тангенса является возрастающей на всей своей области определения. Область определения тангенса — это все действительные числа, кроме $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$. Эти точки являются вертикальными асимптотами.
Рассмотрим один период функции, например, интервал $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$. На этом интервале $tg \ x$ возрастает от $-\infty$ до $+\infty$.
Неравенство $tg \ x < 1$ будет выполняться для всех $x$ на этом интервале, которые меньше $\frac{\pi}{4}$. Слева интервал ограничен асимптотой $-\frac{\pi}{2}$.
Таким образом, для одного периода решение: $-\frac{\pi}{2} < x < \frac{\pi}{4}$.
Учитывая периодичность тангенса (период $T = \pi$), добавляем $\pi n$ к границам интервала, чтобы получить общее решение.
Ответ: $-\frac{\pi}{2} + \pi n < x < \frac{\pi}{4} + \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.

2) Решим неравенство $tg \ x \ge \sqrt{3}$.
Найдем корень уравнения $tg \ x = \sqrt{3}$. Основное значение $x = arctg(\sqrt{3}) = \frac{\pi}{3}$.
Так как функция $tg \ x$ возрастающая, неравенство $tg \ x \ge \sqrt{3}$ будет выполняться для всех $x$, которые больше или равны $\frac{\pi}{3}$.
На основном интервале $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$, это соответствует промежутку от $\frac{\pi}{3}$ до правой асимптоты $\frac{\pi}{2}$. В точке $x = \frac{\pi}{2}$ тангенс не определен, поэтому эта точка не входит в решение.
Таким образом, решение на одном периоде: $\frac{\pi}{3} \le x < \frac{\pi}{2}$.
С учетом периодичности функции, общее решение имеет вид:
Ответ: $\frac{\pi}{3} + \pi n \le x < \frac{\pi}{2} + \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.

3) Решим неравенство $tg \ x \le -\frac{\sqrt{3}}{3}$.
Сначала решим уравнение $tg \ x = -\frac{\sqrt{3}}{3}$. Основное значение $x = arctg(-\frac{\sqrt{3}}{3}) = -\frac{\pi}{6}$.
Так как функция $tg \ x$ возрастает, неравенство $tg \ x \le -\frac{\sqrt{3}}{3}$ будет выполняться для всех $x$, которые меньше или равны $-\frac{\pi}{6}$.
На основном интервале $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$, это соответствует промежутку от левой асимптоты $-\frac{\pi}{2}$ до $-\frac{\pi}{6}$ включительно. В точке $x = -\frac{\pi}{2}$ тангенс не определен.
Решение на одном периоде: $-\frac{\pi}{2} < x \le -\frac{\pi}{6}$.
Общее решение с учетом периода $\pi$:
Ответ: $-\frac{\pi}{2} + \pi n < x \le -\frac{\pi}{6} + \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.

4) Решим неравенство $tg \ x > -1$.
Найдем корень уравнения $tg \ x = -1$. Основное значение $x = arctg(-1) = -\frac{\pi}{4}$.
Поскольку функция $tg \ x$ возрастающая, неравенство $tg \ x > -1$ будет выполняться для всех $x$, которые больше $-\frac{\pi}{4}$.
На основном интервале $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$, это соответствует промежутку от $-\frac{\pi}{4}$ до правой асимптоты $\frac{\pi}{2}$.
Решение на одном периоде: $-\frac{\pi}{4} < x < \frac{\pi}{2}$.
Добавляя период $\pi n$, получаем общее решение неравенства:
Ответ: $-\frac{\pi}{4} + \pi n < x < \frac{\pi}{2} + \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.