Номер 732, страница 216 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 7. Тригонометрические функции. Параграф 41. Свойства функции y=sin x и её график - номер 732, страница 216.

Условие.

732 Сила переменного электрического тока является функцией, зависящей от времени, и выражается формулой

$I = A \sin (\omega t + \varphi)$,

где $A$ — амплитуда колебания, $\omega$ — частота, $\varphi$ — начальная фаза. Построить график этой функции, если:

1) $A = 2, \omega = 1, \varphi = \frac{\pi}{4}$;

2) $A = 1, \omega = 2, \varphi = \frac{\pi}{3}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

1) $A = 2, \omega = 1, \varphi = \frac{\pi}{4}$

Подставим заданные значения в формулу силы переменного тока $I = A \sin(\omega t + \varphi)$. Получаем функцию: $I(t) = 2 \sin(1 \cdot t + \frac{\pi}{4}) = 2 \sin(t + \frac{\pi}{4})$

Для построения графика этой функции проанализируем, как он получается из графика основной функции $y = \sin(t)$ с помощью преобразований.

• Амплитуда $A=2$: Коэффициент 2 перед синусом означает, что график функции $y = \sin(t)$ растягивается в 2 раза вдоль оси ординат (оси $I$). Максимальное значение функции будет 2, а минимальное -2. Область значений функции: $[-2, 2]$.
• Частота $\omega=1$: Период функции $T$ вычисляется по формуле $T = \frac{2\pi}{|\omega|}$. В данном случае $T = \frac{2\pi}{1} = 2\pi$. Период не отличается от периода стандартной функции синуса.
• Начальная фаза $\varphi=\frac{\pi}{4}$: Наличие слагаемого $\frac{\pi}{4}$ в аргументе синуса вызывает сдвиг графика вдоль оси абсцисс (оси времени $t$). Чтобы найти величину сдвига, приравняем аргумент к нулю: $t + \frac{\pi}{4} = 0 \Rightarrow t = -\frac{\pi}{4}$. Это означает, что график функции $y=2\sin(t)$ сдвигается влево на $\frac{\pi}{4}$.

Найдем ключевые точки для построения одного периода графика. Аргумент функции — $(t + \frac{\pi}{4})$.

• Точки пересечения с осью абсцисс (нули функции): $I(t) = 0$. $2\sin(t + \frac{\pi}{4}) = 0 \Rightarrow t + \frac{\pi}{4} = k\pi \Rightarrow t = k\pi - \frac{\pi}{4}$, где $k \in \mathbb{Z}$. Ближайшие к нулю точки: $t = -\frac{\pi}{4}, t = \frac{3\pi}{4}, t=\frac{7\pi}{4}$.
• Точки максимума: $I(t) = 2$. $\sin(t + \frac{\pi}{4}) = 1 \Rightarrow t + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2} + 2k\pi \Rightarrow t = \frac{\pi}{4} + 2k\pi$. Ближайший к нулю максимум (при $k=0$): $t = \frac{\pi}{4}$.
• Точки минимума: $I(t) = -2$. $\sin(t + \frac{\pi}{4}) = -1 \Rightarrow t + \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{2} + 2k\pi \Rightarrow t = \frac{5\pi}{4} + 2k\pi$. Ближайший к нулю минимум (при $k=0$): $t = \frac{5\pi}{4}$.
• Точка пересечения с осью ординат (при $t=0$): $I(0) = 2 \sin(0 + \frac{\pi}{4}) = 2 \sin(\frac{\pi}{4}) = 2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2} \approx 1.41$.

Таким образом, для построения графика нужно взять синусоиду, сдвинуть ее влево на $\frac{\pi}{4}$ и растянуть в 2 раза по вертикали.

Ответ: График функции $I(t) = 2 \sin(t + \frac{\pi}{4})$ — это синусоида с амплитудой 2, периодом $2\pi$ и сдвигом фазы влево на $\frac{\pi}{4}$.

---

2) $A = 1, \omega = 2, \varphi = \frac{\pi}{3}$

Подставим заданные значения в формулу: $I(t) = 1 \cdot \sin(2t + \frac{\pi}{3}) = \sin(2t + \frac{\pi}{3})$

Проанализируем преобразования графика $y = \sin(t)$:

• Амплитуда $A=1$: Амплитуда равна 1, вертикального растяжения нет. Область значений функции: $[-1, 1]$.
• Частота $\omega=2$: Период функции $T = \frac{2\pi}{|\omega|} = \frac{2\pi}{2} = \pi$. График сжат в 2 раза вдоль оси времени $t$ по сравнению со стандартной синусоидой.
• Начальная фаза $\varphi=\frac{\pi}{3}$: Для определения сдвига вынесем частоту $\omega=2$ за скобки в аргументе: $\sin(2(t + \frac{\pi}{6}))$. Аргумент обращается в ноль при $t + \frac{\pi}{6} = 0 \Rightarrow t = -\frac{\pi}{6}$. Это означает сдвиг графика влево на $\frac{\pi}{6}$.

Найдем ключевые точки для построения одного периода. Аргумент функции — $(2t + \frac{\pi}{3})$.

• Нули функции: $I(t) = 0$. $\sin(2t + \frac{\pi}{3}) = 0 \Rightarrow 2t + \frac{\pi}{3} = k\pi \Rightarrow 2t = k\pi - \frac{\pi}{3} \Rightarrow t = \frac{k\pi}{2} - \frac{\pi}{6}$. Точки: $t = -\frac{\pi}{6}, t = \frac{\pi}{3}, t=\frac{5\pi}{6}$.
• Точки максимума: $I(t) = 1$. $\sin(2t + \frac{\pi}{3}) = 1 \Rightarrow 2t + \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{2} + 2k\pi \Rightarrow 2t = \frac{\pi}{6} + 2k\pi \Rightarrow t = \frac{\pi}{12} + k\pi$. Максимум: $t = \frac{\pi}{12}$.
• Точки минимума: $I(t) = -1$. $\sin(2t + \frac{\pi}{3}) = -1 \Rightarrow 2t + \frac{\pi}{3} = \frac{3\pi}{2} + 2k\pi \Rightarrow 2t = \frac{7\pi}{6} + 2k\pi \Rightarrow t = \frac{7\pi}{12} + k\pi$. Минимум: $t = \frac{7\pi}{12}$.
• Точка пересечения с осью ординат (при $t=0$): $I(0) = \sin(0 + \frac{\pi}{3}) = \sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0.87$.

Для построения графика нужно взять синусоиду, сжать ее в 2 раза по горизонтали, а затем сдвинуть влево на $\frac{\pi}{6}$.

Ответ: График функции $I(t) = \sin(2t + \frac{\pi}{3})$ — это синусоида с амплитудой 1, периодом $\pi$ и сдвигом фазы влево на $\frac{\pi}{6}$.