Номер 725, страница 216 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 7. Тригонометрические функции. Параграф 41. Свойства функции y=sin x и её график - номер 725, страница 216.

Условие.

725 Найти все решения неравенства, принадлежащие отрезку $[0; 3\pi]$:

1) $ \sin x > \frac{1}{2}; $

2) $ \sin x \le \frac{\sqrt{2}}{2}; $

3) $ \sin x \ge -\frac{1}{2}; $

4) $ \sin x < -\frac{\sqrt{3}}{2}. $

Решение 1.

Решение 2.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

1)

Решим неравенство $ \sin x > \frac{1}{2} $ на отрезке $ [0; 3\pi] $. Сначала найдем общее решение неравенства. Для этого решим уравнение $ \sin x = \frac{1}{2} $. Корнями уравнения на промежутке $ [0, 2\pi] $ являются $ x_1 = \frac{\pi}{6} $ и $ x_2 = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6} $. Используя единичную окружность или график функции $ y = \sin x $, видим, что неравенство $ \sin x > \frac{1}{2} $ выполняется при $ x $, принадлежащем интервалу, концами которого являются найденные точки. Общее решение неравенства имеет вид $ x \in (\frac{\pi}{6} + 2\pi k, \frac{5\pi}{6} + 2\pi k) $, где $ k \in \mathbb{Z} $. Теперь выберем решения, принадлежащие отрезку $ [0; 3\pi] $.
При $ k=0 $: получаем интервал $ (\frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}) $. Этот интервал полностью лежит в отрезке $ [0; 3\pi] $.
При $ k=1 $: получаем интервал $ (\frac{\pi}{6} + 2\pi, \frac{5\pi}{6} + 2\pi) = (\frac{13\pi}{6}, \frac{17\pi}{6}) $. Поскольку $ 3\pi = \frac{18\pi}{6} $, этот интервал также полностью лежит в отрезке $ [0; 3\pi] $.
При $ k \ge 2 $ или $ k < 0 $ решения не попадают в заданный отрезок.
Объединяя найденные интервалы, получаем искомое решение.
Ответ: $ x \in (\frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}) \cup (\frac{13\pi}{6}, \frac{17\pi}{6}) $

2)

Решим неравенство $ \sin x \le \frac{\sqrt{2}}{2} $ на отрезке $ [0; 3\pi] $. Сначала решим уравнение $ \sin x = \frac{\sqrt{2}}{2} $. Корнями уравнения на промежутке $ [0, 2\pi] $ являются $ x_1 = \frac{\pi}{4} $ и $ x_2 = \pi - \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4} $. Неравенство $ \sin x > \frac{\sqrt{2}}{2} $ имеет общее решение $ x \in (\frac{\pi}{4} + 2\pi k, \frac{3\pi}{4} + 2\pi k) $, где $ k \in \mathbb{Z} $. Соответственно, решение неравенства $ \sin x \le \frac{\sqrt{2}}{2} $ — это дополнение к найденному множеству. Найдем интервалы, где $ \sin x > \frac{\sqrt{2}}{2} $ на отрезке $ [0; 3\pi] $, и исключим их.
При $ k=0 $: получаем интервал $ (\frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}) $.
При $ k=1 $: получаем интервал $ (\frac{\pi}{4} + 2\pi, \frac{3\pi}{4} + 2\pi) = (\frac{9\pi}{4}, \frac{11\pi}{4}) $.
Оба этих интервала лежат внутри $ [0; 3\pi] $. Исключая эти интервалы из отрезка $ [0; 3\pi] $, получаем:
$ [0, 3\pi] \setminus ((\frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}) \cup (\frac{9\pi}{4}, \frac{11\pi}{4})) $.
Это дает нам объединение трех отрезков.
Ответ: $ x \in [0, \frac{\pi}{4}] \cup [\frac{3\pi}{4}, \frac{9\pi}{4}] \cup [\frac{11\pi}{4}, 3\pi] $

3)

Решим неравенство $ \sin x \ge -\frac{1}{2} $ на отрезке $ [0; 3\pi] $. Решим уравнение $ \sin x = -\frac{1}{2} $. Корнями на промежутке $ [0, 2\pi] $ являются $ x_1 = \pi + \frac{\pi}{6} = \frac{7\pi}{6} $ и $ x_2 = 2\pi - \frac{\pi}{6} = \frac{11\pi}{6} $. Неравенство $ \sin x < -\frac{1}{2} $ имеет общее решение $ x \in (\frac{7\pi}{6} + 2\pi k, \frac{11\pi}{6} + 2\pi k) $, где $ k \in \mathbb{Z} $. Решение неравенства $ \sin x \ge -\frac{1}{2} $ является дополнением к этому множеству. На отрезке $ [0; 3\pi] $ найдем интервал, где $ \sin x < -\frac{1}{2} $, и исключим его.
При $ k=0 $: получаем интервал $ (\frac{7\pi}{6}, \frac{11\pi}{6}) $. Этот интервал лежит в $ [0; 3\pi] $.
При других целых $k$ интервалы не пересекаются с $ [0; 3\pi] $.
Таким образом, из отрезка $ [0; 3\pi] $ нужно исключить интервал $ (\frac{7\pi}{6}, \frac{11\pi}{6}) $.
$ [0; 3\pi] \setminus (\frac{7\pi}{6}, \frac{11\pi}{6}) = [0, \frac{7\pi}{6}] \cup [\frac{11\pi}{6}, 3\pi] $.
Ответ: $ x \in [0, \frac{7\pi}{6}] \cup [\frac{11\pi}{6}, 3\pi] $

4)

Решим неравенство $ \sin x < -\frac{\sqrt{3}}{2} $ на отрезке $ [0; 3\pi] $. Сначала найдем общее решение. Решим уравнение $ \sin x = -\frac{\sqrt{3}}{2} $. Корнями на промежутке $ [0, 2\pi] $ являются $ x_1 = \pi + \frac{\pi}{3} = \frac{4\pi}{3} $ и $ x_2 = 2\pi - \frac{\pi}{3} = \frac{5\pi}{3} $. Используя единичную окружность, видим, что неравенство $ \sin x < -\frac{\sqrt{3}}{2} $ выполняется между этими значениями. Общее решение неравенства имеет вид $ x \in (\frac{4\pi}{3} + 2\pi k, \frac{5\pi}{3} + 2\pi k) $, где $ k \in \mathbb{Z} $. Теперь выберем решения, принадлежащие отрезку $ [0; 3\pi] $.
При $ k=0 $: получаем интервал $ (\frac{4\pi}{3}, \frac{5\pi}{3}) $. Этот интервал полностью лежит в отрезке $ [0; 3\pi] $.
При $ k=1 $: получаем интервал $ (\frac{4\pi}{3} + 2\pi, \frac{5\pi}{3} + 2\pi) = (\frac{10\pi}{3}, \frac{11\pi}{3}) $. Он лежит правее отрезка $ [0; 3\pi] $, так как $ \frac{10\pi}{3} > 3\pi $.
При $ k < 0 $ решения также не попадают в заданный отрезок.
Следовательно, искомое решение — это единственный найденный интервал.
Ответ: $ x \in (\frac{4\pi}{3}, \frac{5\pi}{3}) $