Номер 720, страница 215 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 7. Тригонометрические функции. Параграф 41. Свойства функции y=sin x и её график - номер 720, страница 215.

Условие.

Пользуясь графиком функции $y = \sin x$, выполнить упражнения (720—725).

720 (Устно.) Выяснить, при каких значениях $x$, принадлежащих отрезку $[0; 3\pi]$, функция $y = \sin x$ принимает:

1) значение, равное 0, 1, –1;

2) положительные значения;

3) отрицательные значения.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 7.

Решение 8.

Для решения задачи проанализируем поведение функции $y = \sin x$ на отрезке $[0; 3\pi]$, опираясь на её график.

1) значение, равное 0, 1, -1;

Найдём значения $x \in [0; 3\pi]$, при которых функция принимает указанные значения.

Когда $\sin x = 0$:
Функция равна нулю в точках пересечения её графика с осью абсцисс. На отрезке $[0; 3\pi]$ это происходит при $x=0$, $x=\pi$, $x=2\pi$ и $x=3\pi$.

Когда $\sin x = 1$:
Функция достигает своего максимального значения, равного 1, в вершинах "волн" синусоиды. На заданном отрезке это точки $x = \frac{\pi}{2}$ и $x = 2\pi + \frac{\pi}{2} = \frac{5\pi}{2}$.

Когда $\sin x = -1$:
Функция достигает своего минимального значения, равного -1, в низших точках (впадинах) синусоиды. На отрезке $[0; 3\pi]$ такая точка одна: $x = \frac{3\pi}{2}$.

Ответ: $\sin x = 0$ при $x \in \{0, \pi, 2\pi, 3\pi\}$; $\sin x = 1$ при $x \in \{\frac{\pi}{2}, \frac{5\pi}{2}\}$; $\sin x = -1$ при $x = \frac{3\pi}{2}$.

2) положительные значения;

Найдём значения $x$, при которых $y = \sin x > 0$. Это соответствует интервалам, где график функции находится выше оси абсцисс. На отрезке $[0; 3\pi]$ это происходит на двух интервалах: от $0$ до $\pi$ и от $2\pi$ до $3\pi$. Концевые точки не включаются в решение, так как в них значение функции равно нулю.

Ответ: $x \in (0; \pi) \cup (2\pi; 3\pi)$.

3) отрицательные значения.

Найдём значения $x$, при которых $y = \sin x < 0$. Это соответствует интервалу, где график функции находится ниже оси абсцисс. На отрезке $[0; 3\pi]$ это происходит на интервале от $\pi$ до $2\pi$. Концевые точки не включаются, так как в них значение функции равно нулю.

Ответ: $x \in (\pi; 2\pi)$.