Номер 724, страница 216 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 7. Тригонометрические функции. Параграф 41. Свойства функции y=sin x и её график - номер 724, страница 216.

Условие.

724 Найти все корни уравнения, принадлежащие отрезку $[0; 3\pi]$:

1) $sin x = \frac{\sqrt{3}}{2}$;

2) $sin x = \frac{\sqrt{2}}{2}$;

3) $sin x = -\frac{\sqrt{2}}{2}$;

4) $sin x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

1) Найдем корни уравнения $\sin x = \frac{\sqrt{3}}{2}$ на отрезке $[0; 3\pi]$.
Общее решение уравнения имеет вид:
$x = \arcsin(\frac{\sqrt{3}}{2}) + 2\pi n = \frac{\pi}{3} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
$x = \pi - \arcsin(\frac{\sqrt{3}}{2}) + 2\pi n = \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Выберем корни из отрезка $[0; 3\pi]$ путем перебора целочисленных значений $n$.
Для первой серии $x = \frac{\pi}{3} + 2\pi n$:
- при $n=0$, $x = \frac{\pi}{3}$. Этот корень принадлежит отрезку $[0; 3\pi]$.
- при $n=1$, $x = \frac{\pi}{3} + 2\pi = \frac{7\pi}{3}$. Этот корень принадлежит отрезку $[0; 3\pi]$, так как $\frac{7}{3} < 3$.
- при $n=2$, $x = \frac{\pi}{3} + 4\pi = \frac{13\pi}{3}$. Этот корень не принадлежит отрезку, так как $\frac{13}{3} > 3$.
Для второй серии $x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$:
- при $n=0$, $x = \frac{2\pi}{3}$. Этот корень принадлежит отрезку $[0; 3\pi]$.
- при $n=1$, $x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi = \frac{8\pi}{3}$. Этот корень принадлежит отрезку $[0; 3\pi]$, так как $\frac{8}{3} < 3$.
- при $n=2$, $x = \frac{2\pi}{3} + 4\pi = \frac{14\pi}{3}$. Этот корень не принадлежит отрезку, так как $\frac{14}{3} > 3$.
Таким образом, на заданном отрезке уравнение имеет четыре корня.
Ответ: $\frac{\pi}{3}, \frac{2\pi}{3}, \frac{7\pi}{3}, \frac{8\pi}{3}$.

2) Найдем корни уравнения $\sin x = \frac{\sqrt{2}}{2}$ на отрезке $[0; 3\pi]$.
Общее решение уравнения имеет вид:
$x = \arcsin(\frac{\sqrt{2}}{2}) + 2\pi n = \frac{\pi}{4} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
$x = \pi - \arcsin(\frac{\sqrt{2}}{2}) + 2\pi n = \frac{3\pi}{4} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Выберем корни из отрезка $[0; 3\pi]$.
Для первой серии $x = \frac{\pi}{4} + 2\pi n$:
- при $n=0$, $x = \frac{\pi}{4}$. Корень принадлежит отрезку.
- при $n=1$, $x = \frac{\pi}{4} + 2\pi = \frac{9\pi}{4}$. Корень принадлежит отрезку, так как $\frac{9}{4} < 3$.
- при $n=2$, $x = \frac{\pi}{4} + 4\pi = \frac{17\pi}{4}$. Корень не принадлежит отрезку, так как $\frac{17}{4} > 3$.
Для второй серии $x = \frac{3\pi}{4} + 2\pi n$:
- при $n=0$, $x = \frac{3\pi}{4}$. Корень принадлежит отрезку.
- при $n=1$, $x = \frac{3\pi}{4} + 2\pi = \frac{11\pi}{4}$. Корень принадлежит отрезку, так как $\frac{11}{4} < 3$.
- при $n=2$, $x = \frac{3\pi}{4} + 4\pi = \frac{19\pi}{4}$. Корень не принадлежит отрезку, так как $\frac{19}{4} > 3$.
Таким образом, на заданном отрезке уравнение имеет четыре корня.
Ответ: $\frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}, \frac{9\pi}{4}, \frac{11\pi}{4}$.

3) Найдем корни уравнения $\sin x = -\frac{\sqrt{2}}{2}$ на отрезке $[0; 3\pi]$.
Общее решение уравнения имеет вид:
$x = \arcsin(-\frac{\sqrt{2}}{2}) + 2\pi n = -\frac{\pi}{4} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
$x = \pi - \arcsin(-\frac{\sqrt{2}}{2}) + 2\pi n = \pi - (-\frac{\pi}{4}) + 2\pi n = \frac{5\pi}{4} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Выберем корни из отрезка $[0; 3\pi]$.
Для первой серии $x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi n$:
- при $n=0$, $x = -\frac{\pi}{4}$. Корень не принадлежит отрезку.
- при $n=1$, $x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi = \frac{7\pi}{4}$. Корень принадлежит отрезку.
- при $n=2$, $x = -\frac{\pi}{4} + 4\pi = \frac{15\pi}{4}$. Корень не принадлежит отрезку, так как $\frac{15}{4} > 3$.
Для второй серии $x = \frac{5\pi}{4} + 2\pi n$:
- при $n=0$, $x = \frac{5\pi}{4}$. Корень принадлежит отрезку.
- при $n=1$, $x = \frac{5\pi}{4} + 2\pi = \frac{13\pi}{4}$. Корень не принадлежит отрезку, так как $\frac{13}{4} > 3$.
Таким образом, на заданном отрезке уравнение имеет два корня.
Ответ: $\frac{5\pi}{4}, \frac{7\pi}{4}$.

4) Найдем корни уравнения $\sin x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ на отрезке $[0; 3\pi]$.
Общее решение уравнения имеет вид:
$x = \arcsin(-\frac{\sqrt{3}}{2}) + 2\pi n = -\frac{\pi}{3} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
$x = \pi - \arcsin(-\frac{\sqrt{3}}{2}) + 2\pi n = \pi - (-\frac{\pi}{3}) + 2\pi n = \frac{4\pi}{3} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Выберем корни из отрезка $[0; 3\pi]$.
Для первой серии $x = -\frac{\pi}{3} + 2\pi n$:
- при $n=0$, $x = -\frac{\pi}{3}$. Корень не принадлежит отрезку.
- при $n=1$, $x = -\frac{\pi}{3} + 2\pi = \frac{5\pi}{3}$. Корень принадлежит отрезку.
- при $n=2$, $x = -\frac{\pi}{3} + 4\pi = \frac{11\pi}{3}$. Корень не принадлежит отрезку, так как $\frac{11}{3} > 3$.
Для второй серии $x = \frac{4\pi}{3} + 2\pi n$:
- при $n=0$, $x = \frac{4\pi}{3}$. Корень принадлежит отрезку.
- при $n=1$, $x = \frac{4\pi}{3} + 2\pi = \frac{10\pi}{3}$. Корень не принадлежит отрезку, так как $\frac{10}{3} > 3$.
Таким образом, на заданном отрезке уравнение имеет два корня.
Ответ: $\frac{4\pi}{3}, \frac{5\pi}{3}$.