Номер 722, страница 215 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 7. Тригонометрические функции. Параграф 41. Свойства функции y=sin x и её график - номер 722, страница 215.

Условие.

722 Разбить данный отрезок на два отрезка так, чтобы на одном из них функция $y = \sin x$ возрастала, а на другом убывала:

1) [0; $\pi$]

2) [$\frac{\pi}{2}$; $2\pi$]

3) [$-\pi$; 0]

4) [$-2\pi$; $-\pi$]

Решение 1.

Решение 2.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

Для того чтобы разбить данный отрезок на два, на одном из которых функция $y = \sin x$ возрастает, а на другом убывает, необходимо найти точку экстремума (максимума или минимума) этой функции, которая находится внутри заданного отрезка. Точки экстремума функции $y = \sin x$ — это точки, где ее производная $y' = \cos x$ равна нулю, то есть $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k$ — целое число. Эти точки и будут границами разбиения.

1) $[0; \pi]$
На отрезке $[0; \pi]$ находится точка экстремума (максимум) функции $y = \sin x$ при $k=0$, то есть $x = \frac{\pi}{2}$. Эта точка делит отрезок $[0; \pi]$ на два отрезка: $[0; \frac{\pi}{2}]$ и $[\frac{\pi}{2}; \pi]$.

• На отрезке $[0; \frac{\pi}{2}]$ функция $y = \sin x$ возрастает от $\sin(0)=0$ до $\sin(\frac{\pi}{2})=1$.
• На отрезке $[\frac{\pi}{2}; \pi]$ функция $y = \sin x$ убывает от $\sin(\frac{\pi}{2})=1$ до $\sin(\pi)=0$.

Ответ: отрезок $[0; \pi]$ разбивается на отрезки $[0; \frac{\pi}{2}]$ (возрастание) и $[\frac{\pi}{2}; \pi]$ (убывание).

2) $[\frac{\pi}{2}; 2\pi]$
На отрезке $[\frac{\pi}{2}; 2\pi]$ находится точка экстремума (минимум) функции $y = \sin x$ при $k=1$, то есть $x = \frac{\pi}{2} + \pi = \frac{3\pi}{2}$. Эта точка делит отрезок $[\frac{\pi}{2}; 2\pi]$ на два отрезка: $[\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2}]$ и $[\frac{3\pi}{2}; 2\pi]$.

• На отрезке $[\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2}]$ функция $y = \sin x$ убывает от $\sin(\frac{\pi}{2})=1$ до $\sin(\frac{3\pi}{2})=-1$.
• На отрезке $[\frac{3\pi}{2}; 2\pi]$ функция $y = \sin x$ возрастает от $\sin(\frac{3\pi}{2})=-1$ до $\sin(2\pi)=0$.

Ответ: отрезок $[\frac{\pi}{2}; 2\pi]$ разбивается на отрезки $[\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2}]$ (убывание) и $[\frac{3\pi}{2}; 2\pi]$ (возрастание).

3) $[-\pi; 0]$
На отрезке $[-\pi; 0]$ находится точка экстремума (минимум) функции $y = \sin x$ при $k=-1$, то есть $x = \frac{\pi}{2} - \pi = -\frac{\pi}{2}$. Эта точка делит отрезок $[-\pi; 0]$ на два отрезка: $[-\pi; -\frac{\pi}{2}]$ и $[-\frac{\pi}{2}; 0]$.

• На отрезке $[-\pi; -\frac{\pi}{2}]$ функция $y = \sin x$ убывает от $\sin(-\pi)=0$ до $\sin(-\frac{\pi}{2})=-1$.
• На отрезке $[-\frac{\pi}{2}; 0]$ функция $y = \sin x$ возрастает от $\sin(-\frac{\pi}{2})=-1$ до $\sin(0)=0$.

Ответ: отрезок $[-\pi; 0]$ разбивается на отрезки $[-\pi; -\frac{\pi}{2}]$ (убывание) и $[-\frac{\pi}{2}; 0]$ (возрастание).

4) $[-2\pi; -\pi]$
На отрезке $[-2\pi; -\pi]$ находится точка экстремума (максимум) функции $y = \sin x$ при $k=-2$, то есть $x = \frac{\pi}{2} - 2\pi = -\frac{3\pi}{2}$. Эта точка делит отрезок $[-2\pi; -\pi]$ на два отрезка: $[-2\pi; -\frac{3\pi}{2}]$ и $[-\frac{3\pi}{2}; -\pi]$.

• На отрезке $[-2\pi; -\frac{3\pi}{2}]$ функция $y = \sin x$ возрастает от $\sin(-2\pi)=0$ до $\sin(-\frac{3\pi}{2})=1$.
• На отрезке $[-\frac{3\pi}{2}; -\pi]$ функция $y = \sin x$ убывает от $\sin(-\frac{3\pi}{2})=1$ до $\sin(-\pi)=0$.

Ответ: отрезок $[-2\pi; -\pi]$ разбивается на отрезки $[-2\pi; -\frac{3\pi}{2}]$ (возрастание) и $[-\frac{3\pi}{2}; -\pi]$ (убывание).