Номер 721, страница 215 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 7. Тригонометрические функции. Параграф 41. Свойства функции y=sin x и её график - номер 721, страница 215.

Условие.

721 (Устно.) Выяснить, возрастает или убывает функция $y = \sin x$ на промежутке:

1) $[\frac{3\pi}{2}; \frac{5\pi}{2}];$

2) $(\frac{\pi}{2}; \pi);$

3) $(-\pi; -\frac{\pi}{2});$

4) $[-\frac{3\pi}{2}; -\frac{\pi}{2}];$

5) $[2; 4];$

6) $(6; 7).$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 7.

Решение 8.

Для того чтобы выяснить, возрастает или убывает функция $y = \sin x$ на заданном промежутке, необходимо определить знак ее производной $y' = \cos x$ на этом промежутке.

• Если $y' = \cos x > 0$ на всем промежутке, то функция возрастает.
• Если $y' = \cos x < 0$ на всем промежутке, то функция убывает.

Вспомним промежутки знакопостоянства функции $y = \cos x$:

• $\cos x > 0$ (функция $\sin x$ возрастает) при $x \in (-\frac{\pi}{2} + 2\pi k; \frac{\pi}{2} + 2\pi k)$, где $k \in \mathbb{Z}$.
• $\cos x < 0$ (функция $\sin x$ убывает) при $x \in (\frac{\pi}{2} + 2\pi k; \frac{3\pi}{2} + 2\pi k)$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Теперь проанализируем каждый из заданных промежутков.

1) $[\frac{3\pi}{2}, \frac{5\pi}{2}]$
Данный промежуток можно записать как $[-\frac{\pi}{2} + 2\pi, \frac{\pi}{2} + 2\pi]$. Это соответствует промежутку возрастания $[-\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \frac{\pi}{2} + 2\pi k]$ при $k=1$. На этом отрезке $\cos x \ge 0$, поэтому функция $\sin x$ возрастает.
Ответ: возрастает.

2) $(\frac{\pi}{2}, \pi)$
Этот интервал является частью промежутка убывания $(\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2})$, так как для любого $x$ из второй четверти $(\frac{\pi}{2}, \pi)$ значение $\cos x$ отрицательно. Следовательно, функция $\sin x$ убывает.
Ответ: убывает.

3) $(-\pi, -\frac{\pi}{2})$
Этот интервал соответствует углам в третьей четверти. Для любого $x$ из этого интервала $\cos x < 0$. Данный интервал является частью промежутка убывания $(-\frac{3\pi}{2}, -\frac{\pi}{2})$. Следовательно, функция $\sin x$ убывает.
Ответ: убывает.

4) $[-\frac{3\pi}{2}, -\frac{\pi}{2}]$
Этот промежуток соответствует промежутку убывания $[\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \frac{3\pi}{2} + 2\pi k]$ при $k=-1$. На этом отрезке $\cos x \le 0$, поэтому функция $\sin x$ убывает.
Ответ: убывает.

5) $[2; 4]$
Используем приближенные значения: $\pi \approx 3.14159$. Тогда $\frac{\pi}{2} \approx 1.57$ и $\frac{3\pi}{2} \approx 4.71$. Промежуток убывания $(\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2})$ соответствует примерному интервалу $(1.57, 4.71)$. Поскольку отрезок $[2, 4]$ полностью содержится в этом интервале, $[2, 4] \subset (\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2})$, то на нем $\cos x < 0$. Следовательно, функция $\sin x$ убывает.
Ответ: убывает.

6) $(6; 7)$
Используем приближенные значения: $\frac{3\pi}{2} \approx 4.71$ и $\frac{5\pi}{2} = 2\pi + \frac{\pi}{2} \approx 6.28 + 1.57 = 7.85$. Промежуток возрастания $(\frac{3\pi}{2}, \frac{5\pi}{2})$ соответствует примерному интервалу $(4.71, 7.85)$. Поскольку интервал $(6, 7)$ полностью содержится в этом интервале, $(6, 7) \subset (\frac{3\pi}{2}, \frac{5\pi}{2})$, то на нем $\cos x > 0$. Следовательно, функция $\sin x$ возрастает.
Ответ: возрастает.