Номер 715, страница 212 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 7. Тригонометрические функции. Параграф 40. Свойства функции y=cos x и её график - номер 715, страница 212.

Условие.

715 Найти все корни уравнения, принадлежащие отрезку $ \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}\right] $:

1) $ \cos 2x = \frac{1}{2} $;

2) $ \cos 3x = \frac{\sqrt{3}}{2} $.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

1) $\cos 2x = \frac{1}{2}$

Сначала найдем общее решение уравнения. Аргумент косинуса $2x$ равен:

$2x = \pm \arccos\left(\frac{1}{2}\right) + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$

$2x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n$

Разделив обе части на 2, получим общее решение для $x$:

$x = \pm \frac{\pi}{6} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$

Теперь отберем корни, принадлежащие отрезку $\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}\right]$. Это можно сделать перебором целочисленных значений $n$.

Рассмотрим первую серию корней: $x_1 = \frac{\pi}{6} + \pi n$.

• При $n = -1$: $x = \frac{\pi}{6} - \pi = -\frac{5\pi}{6}$. Этот корень не принадлежит отрезку, так как $-\frac{5\pi}{6} < -\frac{\pi}{2}$.
• При $n = 0$: $x = \frac{\pi}{6}$. Этот корень принадлежит отрезку.
• При $n = 1$: $x = \frac{\pi}{6} + \pi = \frac{7\pi}{6}$. Этот корень принадлежит отрезку.
• При $n = 2$: $x = \frac{\pi}{6} + 2\pi = \frac{13\pi}{6}$. Этот корень не принадлежит отрезку, так как $\frac{13\pi}{6} > \frac{3\pi}{2}$.

Рассмотрим вторую серию корней: $x_2 = -\frac{\pi}{6} + \pi n$.

• При $n = 0$: $x = -\frac{\pi}{6}$. Этот корень принадлежит отрезку.
• При $n = 1$: $x = -\frac{\pi}{6} + \pi = \frac{5\pi}{6}$. Этот корень принадлежит отрезку.
• При $n = 2$: $x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi = \frac{11\pi}{6}$. Этот корень не принадлежит отрезку, так как $\frac{11\pi}{6} > \frac{3\pi}{2}$.

Таким образом, корни уравнения, принадлежащие отрезку $\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}\right]$, это $-\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}, \frac{7\pi}{6}$.

Ответ: $-\frac{\pi}{6}; \frac{\pi}{6}; \frac{5\pi}{6}; \frac{7\pi}{6}$.

2) $\cos 3x = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Найдем общее решение уравнения:

$3x = \pm \arccos\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$

$3x = \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi k$

Разделив обе части на 3, получим общее решение для $x$:

$x = \pm \frac{\pi}{18} + \frac{2\pi k}{3}$, где $k \in \mathbb{Z}$

Теперь отберем корни, принадлежащие отрезку $\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}\right]$. Приведем границы отрезка к знаменателю 18: $\left[-\frac{9\pi}{18}, \frac{27\pi}{18}\right]$.

Рассмотрим первую серию корней: $x_1 = \frac{\pi}{18} + \frac{2\pi k}{3} = \frac{(1+12k)\pi}{18}$.

• При $k = -1$: $x = \frac{(1-12)\pi}{18} = -\frac{11\pi}{18}$. Этот корень не принадлежит отрезку.
• При $k = 0$: $x = \frac{\pi}{18}$. Этот корень принадлежит отрезку.
• При $k = 1$: $x = \frac{(1+12)\pi}{18} = \frac{13\pi}{18}$. Этот корень принадлежит отрезку.
• При $k = 2$: $x = \frac{(1+24)\pi}{18} = \frac{25\pi}{18}$. Этот корень принадлежит отрезку.
• При $k = 3$: $x = \frac{(1+36)\pi}{18} = \frac{37\pi}{18}$. Этот корень не принадлежит отрезку.

Рассмотрим вторую серию корней: $x_2 = -\frac{\pi}{18} + \frac{2\pi k}{3} = \frac{(-1+12k)\pi}{18}$.

• При $k = 0$: $x = -\frac{\pi}{18}$. Этот корень принадлежит отрезку.
• При $k = 1$: $x = \frac{(-1+12)\pi}{18} = \frac{11\pi}{18}$. Этот корень принадлежит отрезку.
• При $k = 2$: $x = \frac{(-1+24)\pi}{18} = \frac{23\pi}{18}$. Этот корень принадлежит отрезку.
• При $k = 3$: $x = \frac{(-1+36)\pi}{18} = \frac{35\pi}{18}$. Этот корень не принадлежит отрезку.

Таким образом, корни уравнения, принадлежащие отрезку $\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}\right]$, это $-\frac{\pi}{18}, \frac{\pi}{18}, \frac{11\pi}{18}, \frac{13\pi}{18}, \frac{23\pi}{18}, \frac{25\pi}{18}$.

Ответ: $-\frac{\pi}{18}; \frac{\pi}{18}; \frac{11\pi}{18}; \frac{13\pi}{18}; \frac{23\pi}{18}; \frac{25\pi}{18}$.