Номер 712, страница 212 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 7. Тригонометрические функции. Параграф 40. Свойства функции y=cos x и её график - номер 712, страница 212.

Условие.

712 Найти все корни уравнения, принадлежащие отрезку $[0; 3\pi]$:

1) $\cos x = \frac{1}{2}$;

2) $\cos x = \frac{\sqrt{2}}{2}$;

3) $\cos x = -\frac{\sqrt{2}}{2}$;

4) $\cos x = -\frac{1}{2}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

1) Решим уравнение $\cos x = \frac{1}{2}$.
Общее решение этого уравнения имеет вид: $x = \pm \arccos(\frac{1}{2}) + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Поскольку $\arccos(\frac{1}{2}) = \frac{\pi}{3}$, получаем две серии решений:
1. $x_1 = \frac{\pi}{3} + 2\pi k$
2. $x_2 = -\frac{\pi}{3} + 2\pi k$
Теперь выберем корни, принадлежащие отрезку $[0; 3\pi]$.
Для первой серии $x_1 = \frac{\pi}{3} + 2\pi k$ переберем значения $k$:
При $k=0$, $x = \frac{\pi}{3}$. Корень принадлежит отрезку $[0; 3\pi]$.
При $k=1$, $x = \frac{\pi}{3} + 2\pi = \frac{7\pi}{3}$. Корень принадлежит отрезку $[0; 3\pi]$, так как $7/3 \approx 2.33 \le 3$.
При $k=2$, $x = \frac{\pi}{3} + 4\pi = \frac{13\pi}{3}$. Корень не принадлежит отрезку, так как $13/3 > 3$.
Для второй серии $x_2 = -\frac{\pi}{3} + 2\pi k$ переберем значения $k$:
При $k=0$, $x = -\frac{\pi}{3}$. Корень не принадлежит отрезку.
При $k=1$, $x = -\frac{\pi}{3} + 2\pi = \frac{5\pi}{3}$. Корень принадлежит отрезку $[0; 3\pi]$.
При $k=2$, $x = -\frac{\pi}{3} + 4\pi = \frac{11\pi}{3}$. Корень не принадлежит отрезку, так как $11/3 > 3$.
Искомые корни: $\frac{\pi}{3}, \frac{5\pi}{3}, \frac{7\pi}{3}$.
Ответ: $\frac{\pi}{3}, \frac{5\pi}{3}, \frac{7\pi}{3}$.

2) Решим уравнение $\cos x = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
Общее решение: $x = \pm \arccos(\frac{\sqrt{2}}{2}) + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Поскольку $\arccos(\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{\pi}{4}$, получаем две серии решений:
1. $x_1 = \frac{\pi}{4} + 2\pi k$
2. $x_2 = -\frac{\pi}{4} + 2\pi k$
Выберем корни из отрезка $[0; 3\pi]$.
Для первой серии $x_1 = \frac{\pi}{4} + 2\pi k$ переберем значения $k$:
При $k=0$, $x = \frac{\pi}{4}$. Корень принадлежит отрезку $[0; 3\pi]$.
При $k=1$, $x = \frac{\pi}{4} + 2\pi = \frac{9\pi}{4}$. Корень принадлежит отрезку $[0; 3\pi]$, так как $9/4 = 2.25 \le 3$.
При $k=2$, $x = \frac{\pi}{4} + 4\pi = \frac{17\pi}{4}$. Корень не принадлежит отрезку.
Для второй серии $x_2 = -\frac{\pi}{4} + 2\pi k$ переберем значения $k$:
При $k=0$, $x = -\frac{\pi}{4}$. Корень не принадлежит отрезку.
При $k=1$, $x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi = \frac{7\pi}{4}$. Корень принадлежит отрезку $[0; 3\pi]$.
При $k=2$, $x = -\frac{\pi}{4} + 4\pi = \frac{15\pi}{4}$. Корень не принадлежит отрезку.
Искомые корни: $\frac{\pi}{4}, \frac{7\pi}{4}, \frac{9\pi}{4}$.
Ответ: $\frac{\pi}{4}, \frac{7\pi}{4}, \frac{9\pi}{4}$.

3) Решим уравнение $\cos x = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.
Общее решение: $x = \pm \arccos(-\frac{\sqrt{2}}{2}) + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Поскольку $\arccos(-\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{3\pi}{4}$, получаем две серии решений:
1. $x_1 = \frac{3\pi}{4} + 2\pi k$
2. $x_2 = -\frac{3\pi}{4} + 2\pi k$
Выберем корни из отрезка $[0; 3\pi]$.
Для первой серии $x_1 = \frac{3\pi}{4} + 2\pi k$ переберем значения $k$:
При $k=0$, $x = \frac{3\pi}{4}$. Корень принадлежит отрезку $[0; 3\pi]$.
При $k=1$, $x = \frac{3\pi}{4} + 2\pi = \frac{11\pi}{4}$. Корень принадлежит отрезку $[0; 3\pi]$, так как $11/4 = 2.75 \le 3$.
При $k=2$, $x = \frac{3\pi}{4} + 4\pi = \frac{19\pi}{4}$. Корень не принадлежит отрезку.
Для второй серии $x_2 = -\frac{3\pi}{4} + 2\pi k$ переберем значения $k$:
При $k=0$, $x = -\frac{3\pi}{4}$. Корень не принадлежит отрезку.
При $k=1$, $x = -\frac{3\pi}{4} + 2\pi = \frac{5\pi}{4}$. Корень принадлежит отрезку $[0; 3\pi]$.
При $k=2$, $x = -\frac{3\pi}{4} + 4\pi = \frac{13\pi}{4}$. Корень не принадлежит отрезку.
Искомые корни: $\frac{3\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}, \frac{11\pi}{4}$.
Ответ: $\frac{3\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}, \frac{11\pi}{4}$.

4) Решим уравнение $\cos x = -\frac{1}{2}$.
Общее решение: $x = \pm \arccos(-\frac{1}{2}) + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Поскольку $\arccos(-\frac{1}{2}) = \frac{2\pi}{3}$, получаем две серии решений:
1. $x_1 = \frac{2\pi}{3} + 2\pi k$
2. $x_2 = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi k$
Выберем корни из отрезка $[0; 3\pi]$.
Для первой серии $x_1 = \frac{2\pi}{3} + 2\pi k$ переберем значения $k$:
При $k=0$, $x = \frac{2\pi}{3}$. Корень принадлежит отрезку $[0; 3\pi]$.
При $k=1$, $x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi = \frac{8\pi}{3}$. Корень принадлежит отрезку $[0; 3\pi]$, так как $8/3 \approx 2.67 \le 3$.
При $k=2$, $x = \frac{2\pi}{3} + 4\pi = \frac{14\pi}{3}$. Корень не принадлежит отрезку.
Для второй серии $x_2 = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi k$ переберем значения $k$:
При $k=0$, $x = -\frac{2\pi}{3}$. Корень не принадлежит отрезку.
При $k=1$, $x = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi = \frac{4\pi}{3}$. Корень принадлежит отрезку $[0; 3\pi]$.
При $k=2$, $x = -\frac{2\pi}{3} + 4\pi = \frac{10\pi}{3}$. Корень не принадлежит отрезку.
Искомые корни: $\frac{2\pi}{3}, \frac{4\pi}{3}, \frac{8\pi}{3}$.
Ответ: $\frac{2\pi}{3}, \frac{4\pi}{3}, \frac{8\pi}{3}$.