Номер 707, страница 208 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

§ 39. Чётность, нечётность, периодичность тригонометрических функций. Глава 7. Тригонометрические функции - номер 707, страница 208.

707 Пусть функция $f(x)$ определена на всей числовой прямой.

Доказать, что:

1) $f(x) + f(-x)$ — чётная функция;

2) $f(x) - f(-x)$ — нечётная функция.

Для доказательства нам понадобятся определения чётной и нечётной функций.

Функция $g(x)$ называется чётной, если для любого $x$ из её области определения, которая должна быть симметрична относительно нуля, выполняется равенство $g(-x) = g(x)$.

Функция $h(x)$ называется нечётной, если для любого $x$ из её области определения, которая должна быть симметрична относительно нуля, выполняется равенство $h(-x) = -h(x)$.

По условию, функция $f(x)$ определена на всей числовой прямой, то есть её область определения $D(f) = (-\infty; +\infty)$, которая является симметричной относительно нуля. Следовательно, функции, которые мы будем рассматривать, также определены на всей числовой прямой.

1) $f(x) + f(-x)$ — чётная функция;

Обозначим новую функцию как $g(x) = f(x) + f(-x)$. Чтобы доказать, что $g(x)$ является чётной, нам нужно проверить выполнение условия $g(-x) = g(x)$.

Найдём значение функции $g(x)$ в точке $-x$, подставив $-x$ вместо $x$ в её формулу:

$g(-x) = f(-x) + f(-(-x))$

Упростим выражение:

$g(-x) = f(-x) + f(x)$

Так как от перемены мест слагаемых сумма не меняется, мы можем записать:

$g(-x) = f(x) + f(-x)$

Сравнивая полученное выражение с исходной функцией $g(x)$, мы видим, что они совпадают:

$g(-x) = g(x)$

Это означает, что функция $g(x) = f(x) + f(-x)$ является чётной, что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано.

2) $f(x) - f(-x)$ — нечётная функция.

Обозначим новую функцию как $h(x) = f(x) - f(-x)$. Чтобы доказать, что $h(x)$ является нечётной, нам нужно проверить выполнение условия $h(-x) = -h(x)$.

Найдём значение функции $h(x)$ в точке $-x$, подставив $-x$ вместо $x$ в её формулу:

$h(-x) = f(-x) - f(-(-x))$

Упростим выражение:

$h(-x) = f(-x) - f(x)$

Теперь найдём выражение для $-h(x)$:

$-h(x) = -(f(x) - f(-x)) = -f(x) + f(-x)$

Поменяв слагаемые местами, получим:

$-h(x) = f(-x) - f(x)$

Сравнивая выражения для $h(-x)$ и $-h(x)$, мы видим, что они равны:

$h(-x) = -h(x)$

Это означает, что функция $h(x) = f(x) - f(-x)$ является нечётной, что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано.