Номер 702, страница 207 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 7. Тригонометрические функции. Параграф 39. Чётность, нечётность, периодичность тригонометрических функций - номер 702, страница 207.

Условие.

702 Доказать, что функция $y = f (x)$ является периодической с периодом $2\pi$, если:

1) $y = \cos x - 1$;

2) $y = \sin x + 1$;

3) $y = 3 \sin x$;

4) $y = \frac{\cos x}{2}$;

5) $y = \sin \left(x - \frac{\pi}{4}\right)$;

6) $y = \cos \left(x + \frac{2\pi}{3}\right)$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

Для доказательства того, что функция $f(x)$ является периодической с периодом $T=2\pi$, необходимо показать, что для любого $x$ из области определения функции выполняется равенство $f(x+T) = f(x)$. Мы будем использовать известное свойство периодичности тригонометрических функций: $\sin(z+2\pi) = \sin(z)$ и $\cos(z+2\pi) = \cos(z)$ для любого аргумента $z$.

1) $y = \cos x - 1$

Обозначим $f(x) = \cos x - 1$. Область определения функции — все действительные числа.
Проверим равенство $f(x + 2\pi) = f(x)$:
$f(x + 2\pi) = \cos(x + 2\pi) - 1$.
Так как $\cos(x + 2\pi) = \cos x$, то:
$f(x + 2\pi) = \cos x - 1 = f(x)$.
Равенство выполняется, значит, функция является периодической с периодом $2\pi$.

Ответ: Доказано.

2) $y = \sin x + 1$

Обозначим $f(x) = \sin x + 1$. Область определения функции — все действительные числа.
Проверим равенство $f(x + 2\pi) = f(x)$:
$f(x + 2\pi) = \sin(x + 2\pi) + 1$.
Так как $\sin(x + 2\pi) = \sin x$, то:
$f(x + 2\pi) = \sin x + 1 = f(x)$.
Равенство выполняется, значит, функция является периодической с периодом $2\pi$.

Ответ: Доказано.

3) $y = 3 \sin x$

Обозначим $f(x) = 3 \sin x$. Область определения функции — все действительные числа.
Проверим равенство $f(x + 2\pi) = f(x)$:
$f(x + 2\pi) = 3 \sin(x + 2\pi)$.
Так как $\sin(x + 2\pi) = \sin x$, то:
$f(x + 2\pi) = 3 \sin x = f(x)$.
Равенство выполняется, значит, функция является периодической с периодом $2\pi$.

Ответ: Доказано.

4) $y = \frac{\cos x}{2}$

Обозначим $f(x) = \frac{\cos x}{2}$. Область определения функции — все действительные числа.
Проверим равенство $f(x + 2\pi) = f(x)$:
$f(x + 2\pi) = \frac{\cos(x + 2\pi)}{2}$.
Так как $\cos(x + 2\pi) = \cos x$, то:
$f(x + 2\pi) = \frac{\cos x}{2} = f(x)$.
Равенство выполняется, значит, функция является периодической с периодом $2\pi$.

Ответ: Доказано.

5) $y = \sin\left(x - \frac{\pi}{4}\right)$

Обозначим $f(x) = \sin\left(x - \frac{\pi}{4}\right)$. Область определения функции — все действительные числа.
Проверим равенство $f(x + 2\pi) = f(x)$:
$f(x + 2\pi) = \sin\left((x + 2\pi) - \frac{\pi}{4}\right) = \sin\left(\left(x - \frac{\pi}{4}\right) + 2\pi\right)$.
Пусть $z = x - \frac{\pi}{4}$. Тогда выражение принимает вид $\sin(z + 2\pi)$.
Так как $\sin(z + 2\pi) = \sin z$, то:
$f(x + 2\pi) = \sin\left(x - \frac{\pi}{4}\right) = f(x)$.
Равенство выполняется, значит, функция является периодической с периодом $2\pi$.

Ответ: Доказано.

6) $y = \cos\left(x + \frac{2\pi}{3}\right)$

Обозначим $f(x) = \cos\left(x + \frac{2\pi}{3}\right)$. Область определения функции — все действительные числа.
Проверим равенство $f(x + 2\pi) = f(x)$:
$f(x + 2\pi) = \cos\left((x + 2\pi) + \frac{2\pi}{3}\right) = \cos\left(\left(x + \frac{2\pi}{3}\right) + 2\pi\right)$.
Пусть $z = x + \frac{2\pi}{3}$. Тогда выражение принимает вид $\cos(z + 2\pi)$.
Так как $\cos(z + 2\pi) = \cos z$, то:
$f(x + 2\pi) = \cos\left(x + \frac{2\pi}{3}\right) = f(x)$.
Равенство выполняется, значит, функция является периодической с периодом $2\pi$.

Ответ: Доказано.