Номер 695, страница 204 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 7. Тригонометрические функции. Параграф 38. Область определения и множество значений тригонометрических функций - номер 695, страница 204.

Условие.

695 1) $y = \frac{1}{2 \sin^2 x - \sin x}$;

2) $y = \frac{2}{\cos^2 x - \sin^2 x}$;

3) $y = \frac{1}{\sin x - \sin 3x}$;

4) $y = \frac{1}{\cos^3 x + \cos x}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

1) Область определения функции $y = \frac{1}{2 \sin^2 x - \sin x}$ находится из условия, что знаменатель дроби не должен быть равен нулю.

$2 \sin^2 x - \sin x \neq 0$

Вынесем общий множитель $\sin x$ за скобки:

$\sin x (2 \sin x - 1) \neq 0$

Произведение не равно нулю, если каждый из множителей не равен нулю.

а) $\sin x \neq 0$
$x \neq \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

б) $2 \sin x - 1 \neq 0$
$2 \sin x \neq 1$
$\sin x \neq \frac{1}{2}$
$x \neq (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Таким образом, область определения функции — это все действительные числа, за исключением указанных значений.

Ответ: $x \neq \pi k$, $x \neq (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n$, где $k, n \in \mathbb{Z}$.

2) Область определения функции $y = \frac{2}{\cos^2 x - \sin^2 x}$ находится из условия, что знаменатель не равен нулю.

$\cos^2 x - \sin^2 x \neq 0$

Используем формулу косинуса двойного угла: $\cos(2x) = \cos^2 x - \sin^2 x$.

$\cos(2x) \neq 0$

Функция косинуса равна нулю при значениях аргумента $\frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

$2x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k$

Разделив на 2, получаем:

$x \neq \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x \neq \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}$, где $k \in \mathbb{Z}$.

3) Область определения функции $y = \frac{1}{\sin x - \sin 3x}$ находится из условия, что знаменатель не равен нулю.

$\sin x - \sin 3x \neq 0$

Применим формулу разности синусов: $\sin \alpha - \sin \beta = 2 \cos\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right) \sin\left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right)$.

$2 \cos\left(\frac{x+3x}{2}\right) \sin\left(\frac{x-3x}{2}\right) \neq 0$

$2 \cos(2x) \sin(-x) \neq 0$

Так как $\sin(-x) = -\sin x$, получаем:

$-2 \cos(2x) \sin x \neq 0$

Это неравенство выполняется, если ни один из тригонометрических множителей не равен нулю.

а) $\cos(2x) \neq 0$
$2x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k$
$x \neq \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}$, где $k \in \mathbb{Z}$.

б) $\sin x \neq 0$
$x \neq \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x \neq \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}$, $x \neq \pi n$, где $k, n \in \mathbb{Z}$.

4) Область определения функции $y = \frac{1}{\cos^3 x + \cos x}$ находится из условия, что знаменатель не равен нулю.

$\cos^3 x + \cos x \neq 0$

Вынесем $\cos x$ за скобки:

$\cos x (\cos^2 x + 1) \neq 0$

Рассмотрим каждый множитель.

а) $\cos x \neq 0$
$x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

б) $\cos^2 x + 1 \neq 0$
Поскольку $-1 \le \cos x \le 1$, то $0 \le \cos^2 x \le 1$.
Следовательно, $1 \le \cos^2 x + 1 \le 2$. Это выражение никогда не равно нулю.

Таким образом, единственным ограничением является $\cos x \neq 0$.

Ответ: $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.