Номер 694, страница 204 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 7. Тригонометрические функции. Параграф 38. Область определения и множество значений тригонометрических функций - номер 694, страница 204.

Условие.

694

1) $y = \sqrt{\sin x + 1}$;

2) $y = \sqrt{\cos x - 1}$;

3) $y = \lg \sin x$;

4) $y = \sqrt{2 \cos x - 1}$;

5) $y = \sqrt{1 - 2 \sin x}$;

6) $y = \ln \cos x$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

Для нахождения области определения каждой функции необходимо определить множество всех значений переменной $x$, при которых выражение для $y$ имеет смысл. Это сводится к решению неравенств, связанных со свойствами квадратного корня и логарифма.

1)

Для функции $y = \sqrt{\sin x + 1}$ выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным.

Запишем и решим соответствующее неравенство: $\sin x + 1 \ge 0$

$\sin x \ge -1$

Это неравенство справедливо для любого действительного значения $x$, так как область значений функции синус — отрезок $[-1, 1]$.

Ответ: $D(y) = (-\infty; +\infty)$ или $x \in \mathbb{R}$.

2)

Для функции $y = \sqrt{\cos x - 1}$ выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным.

Запишем и решим неравенство: $\cos x - 1 \ge 0$

$\cos x \ge 1$

Так как максимальное значение функции косинус равно 1, данное неравенство выполняется только в том случае, когда $\cos x = 1$.

Решения этого уравнения имеют вид $x = 2\pi n$, где $n$ — любое целое число.

Ответ: $x = 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

3)

Для функции $y = \lg \sin x$ выражение под знаком десятичного логарифма должно быть строго положительным.

Запишем и решим неравенство: $\sin x > 0$

Функция синус положительна в первой и второй координатных четвертях, что соответствует интервалам $(0, \pi)$, $(2\pi, 3\pi)$ и так далее.

Общее решение можно записать в виде $2\pi n < x < \pi + 2\pi n$.

Ответ: $x \in (2\pi n, \pi + 2\pi n)$, где $n \in \mathbb{Z}$.

4)

Для функции $y = \sqrt{2 \cos x - 1}$ выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным.

Запишем и решим неравенство: $2 \cos x - 1 \ge 0$

$2 \cos x \ge 1$

$\cos x \ge \frac{1}{2}$

На единичной окружности это соответствует дуге от $-\frac{\pi}{3}$ до $\frac{\pi}{3}$. С учетом периодичности функции косинус, решение записывается как:

$-\frac{\pi}{3} + 2\pi n \le x \le \frac{\pi}{3} + 2\pi n$.

Ответ: $x \in [-\frac{\pi}{3} + 2\pi n, \frac{\pi}{3} + 2\pi n]$, где $n \in \mathbb{Z}$.

5)

Для функции $y = \sqrt{1 - 2 \sin x}$ выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным.

Запишем и решим неравенство: $1 - 2 \sin x \ge 0$

$1 \ge 2 \sin x$

$\sin x \le \frac{1}{2}$

Решениями уравнения $\sin x = \frac{1}{2}$ являются точки $x = \frac{\pi}{6}$ и $x = \frac{5\pi}{6}$. Неравенство выполняется для дуги от $\frac{5\pi}{6}$ до $2\pi+\frac{\pi}{6}$. Для удобства записи интервал можно сдвинуть на $2\pi$ влево.

Тогда решение можно записать как $-\frac{7\pi}{6} + 2\pi n \le x \le \frac{\pi}{6} + 2\pi n$.

Ответ: $x \in [-\frac{7\pi}{6} + 2\pi n, \frac{\pi}{6} + 2\pi n]$, где $n \in \mathbb{Z}$.

6)

Для функции $y = \ln \cos x$ выражение под знаком натурального логарифма должно быть строго положительным.

Запишем и решим неравенство: $\cos x > 0$

Функция косинус положительна в первой и четвертой координатных четвертях, что соответствует интервалу $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$.

С учетом периодичности, общее решение имеет вид $-\frac{\pi}{2} + 2\pi n < x < \frac{\pi}{2} + 2\pi n$.

Ответ: $x \in (-\frac{\pi}{2} + 2\pi n, \frac{\pi}{2} + 2\pi n)$, где $n \in \mathbb{Z}$.