Номер 698, страница 204 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 7. Тригонометрические функции. Параграф 38. Область определения и множество значений тригонометрических функций - номер 698, страница 204.

Условие.

698 Найти множество значений функции $y = \sin x - 5 \cos x$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

Для нахождения множества значений функции $y = \sin x - 5 \cos x$ используется метод введения вспомогательного угла. Этот метод позволяет представить выражение вида $a \sin x + b \cos x$ в виде $R \sin(x+\varphi)$ или $R \cos(x-\varphi)$, где $R = \sqrt{a^2+b^2}$.

В нашей функции $y = 1 \cdot \sin x - 5 \cos x$ коэффициенты равны $a=1$ и $b=-5$. Вычислим множитель $R$: $R = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{1^2 + (-5)^2} = \sqrt{1 + 25} = \sqrt{26}$.

Теперь преобразуем исходную функцию, вынеся за скобки вычисленный множитель $\sqrt{26}$: $y = \sqrt{26} \left( \frac{1}{\sqrt{26}} \sin x - \frac{5}{\sqrt{26}} \cos x \right)$.

Введем вспомогательный угол $\varphi$ такой, что $\cos \varphi = \frac{1}{\sqrt{26}}$ и $\sin \varphi = -\frac{5}{\sqrt{26}}$. Существование такого угла гарантируется выполнением основного тригонометрического тождества: $\cos^2 \varphi + \sin^2 \varphi = \left(\frac{1}{\sqrt{26}}\right)^2 + \left(-\frac{5}{\sqrt{26}}\right)^2 = \frac{1}{26} + \frac{25}{26} = 1$.

Подставив эти значения в преобразованное выражение для $y$, получим: $y = \sqrt{26} (\sin x \cos \varphi + \cos x \sin \varphi)$.

Выражение в скобках соответствует формуле синуса суммы: $\sin(x+\varphi) = \sin x \cos \varphi + \cos x \sin \varphi$. Следовательно, функцию можно записать в более простом виде: $y = \sqrt{26} \sin(x+\varphi)$.

Множество значений функции синус, то есть $\sin(x+\varphi)$, является отрезком $[-1, 1]$. Это означает, что для любого действительного значения $x$ выполняется двойное неравенство: $-1 \le \sin(x+\varphi) \le 1$.

Чтобы найти множество значений для $y$, умножим все части этого неравенства на положительное число $\sqrt{26}$: $-\sqrt{26} \cdot 1 \le \sqrt{26} \sin(x+\varphi) \le \sqrt{26} \cdot 1$, что равносильно: $-\sqrt{26} \le y \le \sqrt{26}$.

Таким образом, множество значений исходной функции есть отрезок $[-\sqrt{26}, \sqrt{26}]$.
Ответ: $[-\sqrt{26}, \sqrt{26}]$