Номер 691, страница 203 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 7. Тригонометрические функции. Параграф 38. Область определения и множество значений тригонометрических функций - номер 691, страница 203.

Условие.

691 Найти область определения функции:

1) $y = \sin 2x;$

2) $y = \cos \frac{x}{2};$

3) $y = \cos \frac{1}{x};$

4) $y = \sin \frac{2}{x};$

5) $y = \sin \sqrt{x};$

6) $y = \cos \sqrt{\frac{x-1}{x+1}}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

1) Для функции $y = \sin 2x$. Областью определения функции синус ($y = \sin u$) является множество всех действительных чисел. В данном случае аргумент синуса $u = 2x$ также определен для любого действительного значения $x$. Следовательно, никаких ограничений на переменную $x$ не накладывается, и функция определена на всей числовой оси.
Ответ: $x \in (-\infty, +\infty)$.

2) Для функции $y = \cos \frac{x}{2}$. Областью определения функции косинус ($y = \cos u$) является множество всех действительных чисел. Аргумент косинуса $u = \frac{x}{2}$ определен для любого действительного значения $x$. Таким образом, область определения исходной функции — это все действительные числа.
Ответ: $x \in (-\infty, +\infty)$.

3) Для функции $y = \cos \frac{1}{x}$. Функция косинус ($y = \cos u$) определена для любых действительных $u$. Однако ее аргумент $u = \frac{1}{x}$ представляет собой дробь. Дробное выражение определено только в том случае, если его знаменатель не равен нулю. Поэтому для данной функции должно выполняться условие $x \neq 0$.
Ответ: $x \in (-\infty, 0) \cup (0, +\infty)$.

4) Для функции $y = \sin \frac{2}{x}$. Функция синус ($y = \sin u$) определена для любых действительных $u$. Аргумент синуса $u = \frac{2}{x}$ определен при всех значениях $x$, при которых знаменатель не равен нулю. Следовательно, должно выполняться условие $x \neq 0$. Область определения функции — это множество всех действительных чисел, за исключением $x=0$.
Ответ: $x \in (-\infty, 0) \cup (0, +\infty)$.

5) Для функции $y = \sin \sqrt{x}$. Функция синус ($y = \sin u$) определена для любых действительных $u$. Ее аргумент $u = \sqrt{x}$ (арифметический квадратный корень) определен только для неотрицательных значений подкоренного выражения. Таким образом, должно выполняться условие $x \ge 0$.
Ответ: $x \in [0, +\infty)$.

6) Для функции $y = \cos \sqrt{\frac{x-1}{x+1}}$. Функция косинус ($y = \cos u$) определена для любых действительных $u$. Аргумент $u = \sqrt{\frac{x-1}{x+1}}$ определен, если выражение под знаком корня неотрицательно. Таким образом, мы должны решить неравенство:
$\frac{x-1}{x+1} \ge 0$.
Кроме того, знаменатель дроби в подкоренном выражении не может быть равен нулю, то есть $x+1 \neq 0$, откуда $x \neq -1$.
Решим неравенство $\frac{x-1}{x+1} \ge 0$ методом интервалов.
Находим нули числителя и знаменателя: $x-1=0 \Rightarrow x=1$ и $x+1=0 \Rightarrow x=-1$.
Эти точки делят числовую ось на три интервала: $(-\infty, -1)$, $(-1, 1)$ и $(1, +\infty)$. Определим знак дроби на каждом интервале:

• При $x \in (1, +\infty)$, например $x=2$, получаем $\frac{2-1}{2+1} = \frac{1}{3} > 0$. Интервал подходит.
• При $x \in (-1, 1)$, например $x=0$, получаем $\frac{0-1}{0+1} = -1 < 0$. Интервал не подходит.
• При $x \in (-\infty, -1)$, например $x=-2$, получаем $\frac{-2-1}{-2+1} = \frac{-3}{-1} = 3 > 0$. Интервал подходит.

Поскольку неравенство нестрогое ($\ge$), точка $x=1$ (нуль числителя) входит в область определения. Точка $x=-1$ (нуль знаменателя) исключается.
Объединяя результаты, получаем область определения функции.
Ответ: $x \in (-\infty, -1) \cup [1, +\infty)$.