Номер 685, страница 199 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 6. Тригонометрические уравнения. Упражнения к главе 6 - номер 685, страница 199.

Условие.

Решить систему уравнений (685—686).

685 1) $\begin{cases} \sin y \cos y = \frac{1}{2}, \\ \sin 2x + \sin 2y = 0; \end{cases}$

2) $\begin{cases} \sin x + \sin y = 1, \\ \cos x - \cos y = \sqrt{3}. \end{cases}$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

1)

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} \sin y \cos y = \frac{1}{2} \\ \sin 2x + \sin 2y = 0 \end{cases} $$

Преобразуем первое уравнение, используя формулу синуса двойного угла $ \sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha $. Из этой формулы следует, что $ \sin y \cos y = \frac{\sin 2y}{2} $.

Подставим это выражение в первое уравнение системы:

$ \frac{\sin 2y}{2} = \frac{1}{2} $

Отсюда получаем:

$ \sin 2y = 1 $

Решим это тригонометрическое уравнение относительно $ y $:

$ 2y = \frac{\pi}{2} + 2\pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $.

$ y = \frac{\pi}{4} + \pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $.

Теперь подставим найденное значение $ \sin 2y = 1 $ во второе уравнение исходной системы:

$ \sin 2x + 1 = 0 $

$ \sin 2x = -1 $

Решим это уравнение относительно $ x $:

$ 2x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $.

$ x = -\frac{\pi}{4} + \pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $.

Таким образом, мы получили общие решения для $ x $ и $ y $.

Ответ: $ (x, y) = (-\frac{\pi}{4} + \pi n, \frac{\pi}{4} + \pi k) $, где $ n, k \in \mathbb{Z} $.

2)

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} \sin x + \sin y = 1 \\ \cos x - \cos y = \sqrt{3} \end{cases} $$

Возведем оба уравнения системы в квадрат:

$ (\sin x + \sin y)^2 = 1^2 \implies \sin^2 x + 2\sin x \sin y + \sin^2 y = 1 $

$ (\cos x - \cos y)^2 = (\sqrt{3})^2 \implies \cos^2 x - 2\cos x \cos y + \cos^2 y = 3 $

Теперь сложим полученные уравнения почленно:

$ (\sin^2 x + \cos^2 x) + (\sin^2 y + \cos^2 y) + 2\sin x \sin y - 2\cos x \cos y = 1 + 3 $

Используя основное тригонометрическое тождество $ \sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1 $ и формулу косинуса суммы $ \cos(x+y) = \cos x \cos y - \sin x \sin y $, преобразуем левую часть:

$ 1 + 1 - 2(\cos x \cos y - \sin x \sin y) = 4 $

$ 2 - 2\cos(x+y) = 4 $

$ -2\cos(x+y) = 2 $

$ \cos(x+y) = -1 $

Из этого уравнения находим сумму $ x+y $:

$ x+y = \pi + 2\pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $.

Выразим $ y $ через $ x $: $ y = \pi + 2\pi k - x $.

Подставим это выражение в первое уравнение исходной системы:

$ \sin x + \sin(\pi + 2\pi k - x) = 1 $

Поскольку функция синуса имеет период $ 2\pi $, то $ \sin(\pi + 2\pi k - x) = \sin(\pi - x) $. По формуле приведения $ \sin(\pi - x) = \sin x $.

$ \sin x + \sin x = 1 $

$ 2\sin x = 1 \implies \sin x = \frac{1}{2} $

Теперь проверим, удовлетворяет ли это условие второму уравнению. Подставим $ y = \pi + 2\pi k - x $ во второе уравнение:

$ \cos x - \cos(\pi + 2\pi k - x) = \sqrt{3} $

Используя периодичность и формулу приведения $ \cos(\pi - x) = -\cos x $, получаем:

$ \cos x - \cos(\pi - x) = \sqrt{3} $

$ \cos x - (-\cos x) = \sqrt{3} $

$ 2\cos x = \sqrt{3} \implies \cos x = \frac{\sqrt{3}}{2} $

Итак, для нахождения $ x $ необходимо решить систему:

$$ \begin{cases} \sin x = \frac{1}{2} \\ \cos x = \frac{\sqrt{3}}{2} \end{cases} $$

Этим условиям одновременно удовлетворяют только углы, находящиеся в первой четверти, то есть $ x = \frac{\pi}{6} $ с учетом периодичности.

Общее решение для $ x $:

$ x = \frac{\pi}{6} + 2\pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $.

Теперь находим соответствующее значение для $ y $:

$ y = \pi + 2\pi k - x = \pi + 2\pi k - (\frac{\pi}{6} + 2\pi n) $

$ y = \frac{5\pi}{6} + 2\pi(k-n) $

Так как $ k $ и $ n $ являются произвольными целыми числами, их разность $ p = k-n $ также является произвольным целым числом.

Ответ: $ (x, y) = (\frac{\pi}{6} + 2\pi n, \frac{5\pi}{6} + 2\pi p) $, где $ n, p \in \mathbb{Z} $.