Номер 682, страница 199 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Упражнения к главе 6. Глава 6. Тригонометрические уравнения - номер 682, страница 199.

682 $\cos^2 x + \cos^2 2x + \cos^2 3x = \frac{3}{2}$

Для решения данного тригонометрического уравнения воспользуемся формулой понижения степени: $\cos^2 \alpha = \frac{1 + \cos(2\alpha)}{2}$.

Применим эту формулу к каждому слагаемому в левой части уравнения:

$\frac{1 + \cos(2x)}{2} + \frac{1 + \cos(4x)}{2} + \frac{1 + \cos(6x)}{2} = \frac{3}{2}$

Умножим обе части уравнения на 2, чтобы избавиться от знаменателей:

$(1 + \cos(2x)) + (1 + \cos(4x)) + (1 + \cos(6x)) = 3$

Раскроем скобки и упростим:

$3 + \cos(2x) + \cos(4x) + \cos(6x) = 3$

Вычтем 3 из обеих частей уравнения:

$\cos(2x) + \cos(4x) + \cos(6x) = 0$

Теперь сгруппируем первое и третье слагаемые и применим формулу суммы косинусов $\cos \alpha + \cos \beta = 2 \cos\frac{\alpha+\beta}{2} \cos\frac{\alpha-\beta}{2}$:

$(\cos(6x) + \cos(2x)) + \cos(4x) = 0$

$2 \cos\frac{6x+2x}{2} \cos\frac{6x-2x}{2} + \cos(4x) = 0$

$2 \cos(4x) \cos(2x) + \cos(4x) = 0$

Вынесем общий множитель $\cos(4x)$ за скобки:

$\cos(4x) (2 \cos(2x) + 1) = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Это приводит нас к совокупности двух уравнений:

1) $\cos(4x) = 0$

2) $2 \cos(2x) + 1 = 0$

Решим каждое уравнение по отдельности.

Решение первого уравнения:

$\cos(4x) = 0$

Это частный случай, решения которого имеют вид:

$4x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Разделим обе части на 4, чтобы найти $x$:

$x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi k}{4}$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Решение второго уравнения:

$2 \cos(2x) + 1 = 0$

$2 \cos(2x) = -1$

$\cos(2x) = -\frac{1}{2}$

Общее решение для такого уравнения:

$2x = \pm \arccos\left(-\frac{1}{2}\right) + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Так как $\arccos\left(-\frac{1}{2}\right) = \frac{2\pi}{3}$, получаем:

$2x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Разделим обе части на 2, чтобы найти $x$:

$x = \pm \frac{\pi}{3} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Объединяя решения обоих уравнений, получаем итоговый ответ.

Ответ: $x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi k}{4}$, $k \in \mathbb{Z}$; $x = \pm \frac{\pi}{3} + \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.