Номер 686, страница 199 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 6. Тригонометрические уравнения. Упражнения к главе 6 - номер 686, страница 199.

Условие.

686 1) $$\begin{cases} \frac{\sin x}{\sin y} = \frac{5}{3},\\ \frac{\cos x}{\cos y} = \frac{1}{3}; \end{cases}$$

2) $$\begin{cases} \sin x \cos y = \frac{1}{2},\\ \cos x \sin y = -\frac{1}{2}. \end{cases}$$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

1)

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} \frac{\sin x}{\sin y} = \frac{5}{3} \\ \frac{\cos x}{\cos y} = \frac{1}{3} \end{cases} $$

Из уравнений системы выразим $\sin x$ и $\cos x$ через $\sin y$ и $\cos y$:

$\sin x = \frac{5}{3} \sin y$

$\cos x = \frac{1}{3} \cos y$

Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ и подставим в него полученные выражения:

$\left(\frac{5}{3} \sin y\right)^2 + \left(\frac{1}{3} \cos y\right)^2 = 1$

$\frac{25}{9} \sin^2 y + \frac{1}{9} \cos^2 y = 1$

Умножим обе части уравнения на 9:

$25 \sin^2 y + \cos^2 y = 9$

Используя тождество $\cos^2 y = 1 - \sin^2 y$, заменим $\cos^2 y$:

$25 \sin^2 y + (1 - \sin^2 y) = 9$

$24 \sin^2 y = 8$

$\sin^2 y = \frac{8}{24} = \frac{1}{3}$

Отсюда находим $\cos^2 y$:

$\cos^2 y = 1 - \sin^2 y = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$

Теперь найдем значения для $\cos(x+y)$ и $\cos(x-y)$, используя формулы сложения углов и ранее полученные выражения.

$\cos(x-y) = \cos x \cos y + \sin x \sin y = \left(\frac{1}{3} \cos y\right)\cos y + \left(\frac{5}{3} \sin y\right)\sin y = \frac{1}{3}\cos^2 y + \frac{5}{3}\sin^2 y$

Подставим найденные значения для $\sin^2 y$ и $\cos^2 y$:

$\cos(x-y) = \frac{1}{3}\left(\frac{2}{3}\right) + \frac{5}{3}\left(\frac{1}{3}\right) = \frac{2}{9} + \frac{5}{9} = \frac{7}{9}$

Аналогично для $\cos(x+y)$:

$\cos(x+y) = \cos x \cos y - \sin x \sin y = \frac{1}{3}\cos^2 y - \frac{5}{3}\sin^2 y = \frac{1}{3}\left(\frac{2}{3}\right) - \frac{5}{3}\left(\frac{1}{3}\right) = \frac{2}{9} - \frac{5}{9} = -\frac{1}{3}$

Мы получили новую, более простую систему уравнений:

$$ \begin{cases} \cos(x-y) = \frac{7}{9} \\ \cos(x+y) = -\frac{1}{3} \end{cases} $$

Из этих уравнений получаем общие решения для $x-y$ и $x+y$:

$x-y = \pm \arccos\left(\frac{7}{9}\right) + 2\pi m$

$x+y = \pm \arccos\left(-\frac{1}{3}\right) + 2\pi n$

где $m, n \in \mathbb{Z}$.

Решая эту систему линейных уравнений относительно $x$ и $y$ (методом сложения и вычитания), находим:

$2x = \pm \arccos\left(-\frac{1}{3}\right) \pm \arccos\left(\frac{7}{9}\right) + 2\pi (n+m)$

$2y = \pm \arccos\left(-\frac{1}{3}\right) \mp \arccos\left(\frac{7}{9}\right) + 2\pi (n-m)$

Окончательное решение можно записать в компактном виде:

$x = \frac{1}{2}\left(\epsilon_1 \arccos\left(-\frac{1}{3}\right) + \epsilon_2 \arccos\left(\frac{7}{9}\right)\right) + \pi k$

$y = \frac{1}{2}\left(\epsilon_1 \arccos\left(-\frac{1}{3}\right) - \epsilon_2 \arccos\left(\frac{7}{9}\right)\right) + \pi l$

где $\epsilon_1, \epsilon_2$ принимают значения из множества $\{-1, 1\}$, а целые числа $k$ и $l$ имеют одинаковую четность (так как $k=n+m$ и $l=n-m$, то $k-l=2m$ — четное число).

Ответ: $x = \frac{1}{2}\left(\epsilon_1 \arccos\left(-\frac{1}{3}\right) + \epsilon_2 \arccos\left(\frac{7}{9}\right)\right) + \pi k$, $y = \frac{1}{2}\left(\epsilon_1 \arccos\left(-\frac{1}{3}\right) - \epsilon_2 \arccos\left(\frac{7}{9}\right)\right) + \pi l$, где $\epsilon_1, \epsilon_2 \in \{-1, 1\}$, $k, l \in \mathbb{Z}$ и $k \equiv l \pmod 2$.

2)

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} \sin x \cos y = \frac{1}{2} \\ \cos x \sin y = -\frac{1}{2} \end{cases} $$

Для решения этой системы воспользуемся формулами синуса суммы и разности двух углов:

$\sin(x+y) = \sin x \cos y + \cos x \sin y$

$\sin(x-y) = \sin x \cos y - \cos x \sin y$

Сложим два уравнения исходной системы:

$\sin x \cos y + \cos x \sin y = \frac{1}{2} + \left(-\frac{1}{2}\right)$

$\sin(x+y) = 0$

Вычтем второе уравнение из первого:

$\sin x \cos y - \cos x \sin y = \frac{1}{2} - \left(-\frac{1}{2}\right)$

$\sin(x-y) = 1$

Таким образом, мы получили новую, более простую систему:

$$ \begin{cases} \sin(x+y) = 0 \\ \sin(x-y) = 1 \end{cases} $$

Из первого уравнения следует, что $x+y = k\pi$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Из второго уравнения следует, что $x-y = \frac{\pi}{2} + 2n\pi$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Теперь решим систему линейных уравнений относительно $x$ и $y$:

$$ \begin{cases} x+y = k\pi \\ x-y = \frac{\pi}{2} + 2n\pi \end{cases} $$

Сложив уравнения, получим:

$2x = k\pi + \frac{\pi}{2} + 2n\pi = \frac{\pi}{2} + \pi(k+2n)$

$x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{2}(k+2n)$

Вычтя второе уравнение из первого, получим:

$2y = k\pi - \left(\frac{\pi}{2} + 2n\pi\right) = -\frac{\pi}{2} + \pi(k-2n)$

$y = -\frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{2}(k-2n)$

Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{2}(k+2n)$, $y = -\frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{2}(k-2n)$, где $k, n \in \mathbb{Z}$.