Номер 689, страница 200 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 6. Тригонометрические уравнения. Упражнения к главе 6 - номер 689, страница 200.

Условие.

689 Найти все значения $a$, при которых уравнение

$\sin 2x - 2a \sqrt{2} (\sin x + \cos x) + 1 - 6a^2 = 0$

имеет корни, и решить это уравнение.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

Для решения данного уравнения введем замену переменной. Пусть $t = \sin x + \cos x$. Чтобы выразить $\sin 2x$ через $t$, возведем обе части равенства в квадрат: $t^2 = (\sin x + \cos x)^2 = \sin^2 x + 2\sin x \cos x + \cos^2 x = 1 + \sin 2x$. Отсюда получаем, что $\sin 2x = t^2 - 1$.

Определим множество значений, которые может принимать переменная $t$. Используя метод вспомогательного угла, преобразуем выражение для $t$: $t = \sin x + \cos x = \sqrt{2} \left( \frac{1}{\sqrt{2}}\sin x + \frac{1}{\sqrt{2}}\cos x \right) = \sqrt{2} \sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right)$. Так как область значений функции синуса есть отрезок $[-1, 1]$, то для $t$ имеем: $-\sqrt{2} \le t \le \sqrt{2}$.

Теперь подставим выражения для $\sin 2x$ и $\sin x + \cos x$ в исходное уравнение: $(t^2 - 1) - 2a\sqrt{2} \cdot t + 1 - 6a^2 = 0$. После упрощения получаем квадратное уравнение относительно $t$: $t^2 - 2\sqrt{2}at - 6a^2 = 0$.

Исходное тригонометрическое уравнение будет иметь корни тогда и только тогда, когда это квадратное уравнение имеет хотя бы один корень $t$, принадлежащий отрезку $[-\sqrt{2}, \sqrt{2}]$.

Найдем корни квадратного уравнения. Вычислим дискриминант $D$ (или его четверть $D/4$): $D/4 = (-\sqrt{2}a)^2 - 1 \cdot (-6a^2) = 2a^2 + 6a^2 = 8a^2 = (2\sqrt{2}a)^2$. Корни уравнения для $t$: $t = \frac{\sqrt{2}a \pm \sqrt{(2\sqrt{2}a)^2}}{1} = \sqrt{2}a \pm 2\sqrt{2}a$. Получаем два корня: $t_1 = \sqrt{2}a - 2\sqrt{2}a = -\sqrt{2}a$, $t_2 = \sqrt{2}a + 2\sqrt{2}a = 3\sqrt{2}a$.

Теперь найдем, при каких значениях параметра $a$ хотя бы один из этих корней попадает в отрезок $[-\sqrt{2}, \sqrt{2}]$.
1. Для корня $t_1$: $-\sqrt{2} \le -\sqrt{2}a \le \sqrt{2}$. Разделив на $-\sqrt{2}$ (с изменением знаков неравенств), получим: $-1 \le a \le 1$.
2. Для корня $t_2$: $-\sqrt{2} \le 3\sqrt{2}a \le \sqrt{2}$. Разделив на $3\sqrt{2}$, получим: $-\frac{1}{3} \le a \le \frac{1}{3}$.

Уравнение имеет решение, если $a$ принадлежит объединению этих двух промежутков: $a \in [-1, 1] \cup [-\frac{1}{3}, \frac{1}{3}]$, что дает $a \in [-1, 1]$.

Теперь решим уравнение для найденных значений $a$, выполнив обратную замену $\sqrt{2}\sin(x + \frac{\pi}{4}) = t$, или $\sin(x + \frac{\pi}{4}) = \frac{t}{\sqrt{2}}$.

При $a \in \left[-\frac{1}{3}, \frac{1}{3}\right]$, оба корня $t_1 = -\sqrt{2}a$ и $t_2 = 3\sqrt{2}a$ удовлетворяют условию $|t| \le \sqrt{2}$. Таким образом, получаем две серии решений для $x$:
а) $\sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right) = \frac{t_1}{\sqrt{2}} = \frac{-\sqrt{2}a}{\sqrt{2}} = -a$. $x + \frac{\pi}{4} = (-1)^k \arcsin(-a) + \pi k = (-1)^{k+1} \arcsin(a) + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$. $x = (-1)^{k+1} \arcsin(a) - \frac{\pi}{4} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$.
б) $\sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right) = \frac{t_2}{\sqrt{2}} = \frac{3\sqrt{2}a}{\sqrt{2}} = 3a$. $x + \frac{\pi}{4} = (-1)^n \arcsin(3a) + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$. $x = (-1)^n \arcsin(3a) - \frac{\pi}{4} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$.

При $a \in [-1, -\frac{1}{3}) \cup (\frac{1}{3}, 1]$, только корень $t_1 = -\sqrt{2}a$ удовлетворяет условию $|t_1| \le \sqrt{2}$. Для корня $t_2 = 3\sqrt{2}a$ имеем $|t_2| > \sqrt{2}$, так как $|3a|>1$. Следовательно, в этом случае есть только одна серия решений: $\sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right) = -a$. $x = (-1)^{k+1} \arcsin(a) - \frac{\pi}{4} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$.

Ответ:
Уравнение имеет корни при $a \in [-1, 1]$.
Решения уравнения:
- если $a \in \left[-\frac{1}{3}, \frac{1}{3}\right]$, то $x = (-1)^{k+1} \arcsin(a) - \frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$ и $x = (-1)^n \arcsin(3a) - \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.
- если $a \in \left[-1, -\frac{1}{3}\right) \cup \left(\frac{1}{3}, 1\right]$, то $x = (-1)^{k+1} \arcsin(a) - \frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.